抽象代数 01.02 半群与群

http://www.icourses.cn 南开大学《抽象代数》

$\text{§1.2 半群与群}$

抽象代数是从抽象的观点研究代数体系的。代数体系首先是一个集合，其次，这个集合中定义有运算(一种或多种运算)，再次，运算满足某些规律。

定 义 1.2.1 设 非 空 集 合 S 中 有 一 个 二 元 运 算 “ ∘ ” ， 且 该 运 算 满 足 结 合 律 ， 则 称 代 数 体 系 { S ; ∘ } 是 一 个 半 群 ， 也 简 称 S 是 一 个 半 群 。 {\color{blue}定义1.2.1 \quad} 设非空集合S中有一个二元运算“\circ”，且该运算满足结合律，则称代数体系\lbrace S; \circ \rbrace 是一个{\color{blue}半群}，也简称S是一个半群。 定义1.2.1设非空集合S中有一个二元运算“∘”，且该运算满足结合律，则称代数体系{S;∘}是一个半群，也简称S是一个半群。
若 半 群 { S ; ∘ } 中 存 在 一 个 元 素 e 1 ( e 2 ) , 使 若半群\lbrace S; \circ \rbrace 中存在一个元素 e_1(e_2), 使 若半群{S;∘}中存在一个元素e1​(e2​),使
$e_1\circ a=a(a\circ e_2=a),\forall a\in S.$
$则称e_1(e_2)为S的左(右)幺元。若e\in S,既是S的左幺元，又是S的右幺元，则称e为S的幺元,也称为单位元.有幺元的半$
$群称为幺半群.$
$例2记M(A)为非空集合A的所有变换(到自身的映射称为变换)的集合，则$
{ M ( A ) ; ⋅ } 是 幺 半 群 ， 恒 等 变 换 i d A 是 幺 元 ， 这 里 “ ⋅ ” 表 示 映 射 的 乘 法 运 算 。 \lbrace M(A); \cdot \rbrace 是幺半群，恒等变换id_A是幺元，这里“\cdot”表示映射的乘法运算。 {M(A);⋅}是幺半群，恒等变换idA​是幺元，这里“⋅”表示映射的乘法运算。
例 3 记 非 空 集 合 A 的 所 有 子 集 的 集 合 为 P ( A ) , 称 为 A 的 幂 集 , 则 { P ( A ) ; ∪ } 是 {\color{blue}例3 }记非空集合A的所有子集的集合为P(A),称为A的幂集,则\lbrace P(A); \cup \rbrace 是 例3记非空集合A的所有子集的集合为P(A),称为A的幂集,则{P(A);∪}是
幺 半 群 ， 幺 元 是 空 集 ∅ ; { P ( A ) ; ∩ } 也 是 幺 半 群 ， 幺 元 是 A . 这 里 “ ∪ ” ， “ ∩ ” 幺半群，幺元是空集 \empty ; \lbrace P(A); \cap \rbrace 也是幺半群，幺元是A.这里“\cup”，“\cap” 幺半群，幺元是空集∅;{P(A);∩}也是幺半群，幺元是A.这里“∪”，“∩”
$分别表示集合求并与求交的运算。这是两个不同的幺半群，虽然集合是同$
$一个集合P(A)。$
$命题1.2.1幺半群中的幺元是唯一的。$
$证：若e与e^{\prime }均为幺元,则e^{\prime }=e^{\prime }e=e.$
定 义 1.2.2 设 { S ; ∘ } 是 幺 半 群 ， e 是 幺 元 ， a ∈ S , 若 a 1 ( a 2 ) ∈ S , 使 a 1 a = e ( a a 2 = e ) , 则 称 a 1 ( a 2 ) 为 a 的 左 ( 右 ) 逆 元 。 若 b 既 是 a 的 左 逆 元 ， 又 是 a 的 右 逆 元 ， 即 有 b a = a b = e , 则 称 b 为 a 的 逆 元 ， 记 为 b = a − 1 , 称 a 为 可 逆 元 。 {\color{blue}定义1.2.2 \quad} 设 \lbrace S; \circ \rbrace 是幺半群，e是幺元，a \in S, 若a_1(a_2) \in S,使a_1a = e(aa_2 = e),则称a_1(a_2)为a的{\color{blue}左(右)逆元}。若b既是a的左逆元，又是a的右逆元，即有ba = ab = e,则称b为a的{\color{blue}逆元}，记为b = a^{-1},称a为{\color{blue}可逆元}。 定义1.2.2设{S;∘}是幺半群，e是幺元，a∈S,若a1​(a2​)∈S,使a1​a=e(aa2​=e),则称a1​(a2​)为a的左(右)逆元。若b既是a的左逆元，又是a的右逆元，即有ba=ab=e,则称b为a的逆元，记为b=a−1,称a为可逆元。
定 义 1.2.3 一 个 幺 半 群 { G ; ∘ } 中 如 果 每 一 个 元 都 是 可 逆 元 ， 则 G 就 称 为 群 。 {\color{blue}定义1.2.3 \quad}一个幺半群 \lbrace G; \circ \rbrace 中如果每一个元都是可逆元，则G就称为{\color{blue}群}。 定义1.2.3一个幺半群{G;∘}中如果每一个元都是可逆元，则G就称为群。
$若运算“\circ ”还满足交换律，则G称为交换群，或阿贝尔(Abel)群。$
$通常为应用上的方便，不借助于“幺半群”的概念直接定义“群”，则可以说，$
$群是一个集合G，且关于G中运算“\circ ”满足以下四个条件:$
$①\forall a,b\in G,有a\circ b\in G,即运算“\circ ”对G是封闭的；$
$②\forall a,b,c\in G,有(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c),即运算“\circ ”满足结合律；$
$③存在e\in G,使\forall a\in G,有e\circ a=a\circ e=a,即G中存在幺元;$
$④\forall a\in G,\exists b\in G,使b\circ a=a\circ b=e,即G中任意元为可逆元。$
$事实上，后两个条件③，④还可以简化为$
${③}^{\prime }存在e\in G,使\forall a\in G,有e\circ a=a,即G中存在左幺元；$
${④}^{\prime }\forall a\in G,\exists b\in G,使b\circ a=e,即G中任意元都存在左逆元。$
$这表明，群G中的左幺元就是右幺元，G中任一元a的左逆元就是a的右逆元。$
$“群”是一个“有结构的集合”。群的概念，也可以由朴素的“对称”概念产生。$
$例4整数集\mathbb{Z},有理数集\mathbb{Q},实数集\mathbb{R},复数集\mathbb{C},对于数的加法运算都构成群。$
$例5非零实数集{\mathbb{R}}^{\ast },对于数的乘法构成群。$
例 6 记 S A 为 非 空 集 合 A 的 所 有 可 逆 变 换 的 集 合 ， 则 { S A ; ⋅ } 是 群 ， 这 里 “ ⋅ ” 表 示 映 射 的 乘 法 运 算 。 这 个 群 称 为 A 的 全 变 换 群 。 恒 等 变 换 是 它 的 幺 元 。 {\color{blue}例6 \quad}记S_A为非空集合A的所有可逆变换的集合，则 \lbrace S_A; \cdot \rbrace 是群，这里“\cdot”表示映射的乘法运算。这个群称为{\color{blue}A的全变换群}。恒等变换是它的幺元。 例6记SA​为非空集合A的所有可逆变换的集合，则{SA​;⋅}是群，这里“⋅”表示映射的乘法运算。这个群称为A的全变换群。恒等变换是它的幺元。
例 7 { 1 , − 1 } 对 于 数 的 乘 法 构 成 群 。 {\color{blue}例7 \quad} \lbrace 1, -1 \rbrace 对于数的乘法构成群。 例7{1,−1}对于数的乘法构成群。

群不仅是一个集合，更重要的是，它是带有某种运算的集合，这种运算还满足某些条件。下边我们来推导群的一些基本性质。我们不妨把群中的运算称作乘法，并把运算符号省去，记$a\circ b为ab。$

$命题1.2.2群G的运算满足左(右)消去律。即$
$\forall a,b,c\in G,ab=ac(ba=ca)\Rightarrow b=c.$
$证:我们只证左消去律成立。因G是群，故a^{-1}\in G,用a^{-1}左乘式ab=ac的两边得$
$a^{-1}(ab)=a^{-1}(ac),$
$在据结合律有(a^{-1}a)b=(a^{-1}a)c,即eb=ec,再由幺元定义得b=c。$
$命题1.2.3群G中任一元a的逆元是唯一的。$
$证：若b和b^{\prime }均为a的逆元,便有ba=e=b^{\prime }a,据右消去律得b=b^{\prime }.$
$命题1.2.4在群G中，\forall a,b\in G,方程ax=b及xa=b的解均存在且唯一。$
$证：只对ax=b证明。因为G是群，故a^{-1}\in G,又因群中运算封闭，a^{-1}b\in G,带入验证即知a^{-1}b是ax=b的一个解，又若x_1,x_2,均是ax=b的解，即有a{x}_1=b和a{x}_2=b,故a{x}_1=a{x}_2,由群中消去律成立知x_1=x_2。$
$命题1.2.5若半群G满足：\forall a,b\in G,方程ax=b,xa=b均有解，则G是群。$
$证：我们利用定义1.2.3中关于群的定义的四个条件①②{③}^{\prime }{④}^{\prime }来完成证明。$
$由于G是半群，所以①②成立。因xa=a在G中有解，记一个解为e_a,即有e_{a}a=a.下证e_a是G的左幺元。\forall c\in G,因ax=c在G中有解,记为d，既有ad=c，所以e_{a}c=e_{a}ad=(e_{a}a)d=ad=c,故e_a是G的左幺元。{③}^{\prime }已成立。又\forall a\in G,xa=e_a在G中有解，解就是a的左逆元，故{④}^{\prime }成立。$
$定义1.2.6有限半群G若满足左、右消去律，则G是群。$
证 ： 因 G 有 限 ， 可 设 G = { a 1 , ⋯   , a n } , ∀ a , b ∈ G , 我 们 证 明 方 程 a x = b ， {\color{blue}证：} 因G有限，可设G = \lbrace a_1, \cdots, a_n \rbrace, \forall a, b \in G,我们证明方程 ax = b， 证：因G有限，可设G={a1​,⋯,an​},∀a,b∈G,我们证明方程ax=b，
$xa=b均有解，从而据命题1.2.5完成证明。$
$因半群对运算封闭，故a{a}_1,\cdots ,a{a}_n\in G。我们断言，a{a}_1,\cdots ,a{a}_n必两两不等，从而就是a_1,\cdots ,a_n的一个排列。$
$因若不然，不妨设a{a}_1=a{a}_2，则据左消去律有a_1=a_2,矛盾。$
$既然a{a}_1,\cdots ,a{a}_n是a_1,\cdots ,a_n的一个排列，而b\in G,故必有一个a{a}_i=b,1\le i\le n,于是a_i就是方程ax=b的解。同理可证方程xa=b有解。$

$由于群G中任一元a有逆元a^{-1}，所以我们不仅可以规定a的正整数次幂，也可以规定$
$a的负整数次幂和a的零次幂。$
$定义1.2.4设G为群，n为正整数，\forall a\in G,规定$
$a^n=\stackrel{n个}{\overbrace{aa\cdots a}};$
$a^{-n}=(a^{-1}{)}^n;$
$a^0=e.$
$由此可得对任一整数m，n，有a^m{a}^n=a^{m+n},(a^m{)}^n=a^{mn}$
$若G是交换群，还有(ab{)}^m=a^m{b}^m.$
$当G是交换群时，我们有时把运算记为加法，这时的幺元常称为零元，记为0，a\in G的逆元常称为a的负元，记为-a，对于加法群G，乘法群中a的n次幂相当于a的n倍，与定义1.2.4相应地有$
$定义1.2.5设G为加法群，n为正整数，\forall a\in G,规定$
$na=\stackrel{n个}{\overbrace{a+a+\cdots +a}};$
$(-n)a=n(-a);$
$0a=0;$
注意最后一式等号左边的0是整数0，等号右边的0是G中的零元。
$由此可得，对于任意整数m,n,及任意a,b\in G,有ma+na=(m+n)a,m(na)=(mn)a,m(a+b)=ma+mb.$
$定义1.2.6群G中所含元素个数|G|，称为群G的阶。若|G|有限，则称G为有限群，$
$若|G|无限，则称G为无限群.$
$例4，例5中的群是无限群，例7中的群是有限群。$
对于有限群，我们可以用“$群表$”来给出。给出一个群，就是给出这个群中的所有元素以及所有元素的运算结果。对于有限群来说，这两个任务，群表能完成。
例7中的群，群表如右: $\begin{array}{rrr}& 1& -1\\ 1& 1& -1\\ -1& -1& 1\end{array}$
当群表关于自左上至右下的对角线对称时，该群是交换群。例7中的群是交换群。
定 义 1.2.7 是 G 是 群 ， 运 算 记 为 乘 法 ( 加 法 ) ， a 是 G 中 一 个 元 素 。 如 果 ∀ k ∈ N ， 有 a k = ̸ e ( k a = ̸ 0 ) ， 则 称 元 素 a 的 阶 为 无 穷 。 如 果 ∃ k ∈ N ， 使 a k = e ( k a = 0 ) ， 则 称 min ⁡ { k ∈ N ∣ a k = e ( k a = 0 ) } 为 a 的 阶 {\color{blue}定义1.2.7 \quad} 是G是群，运算记为乘法(加法)，a是G中一个元素。如果\forall k \in \mathbb{N}，有a^k =\not e (ka =\not 0)，则称{\color{blue}元素a的阶为无穷}。如果 \exists k \in \mathbb{N}，使a^k = e (ka = 0)，则称 \min \lbrace k \in \mathbb{N} | a^k = e (ka = 0) \rbrace 为{\color{blue}a的阶} 定义1.2.7是G是群，运算记为乘法(加法)，a是G中一个元素。如果∀k∈N，有ak≠​e(ka≠​0)，则称元素a的阶为无穷。如果∃k∈N，使ak=e(ka=0)，则称min{k∈N∣ak=e(ka=0)}为a的阶
$由此定义易知，任一乘法群G中，幺元的阶为1，且只有幺元的阶为1；G中任一元a$
$与其逆元a^{-1}有相同的阶。$
$命题1.2.7设a是群G中一元，则a的阶是无穷⟺\forall m≠n,m,n\in \mathbb{Z}，有a^m≠a^n.$
$证：“\Rightarrow ”若不然，有m_0≠n_0,m_0,n_0\in \mathbb{Z},使a^{m_0}=a^{n_0},不妨设m_0>n_0,用a^{-n_0}右乘等号两边，得a^{m_0-n_0}=e,m_0-n_0\in \mathbb{N},这与“a的阶是无穷”矛盾。$
$“\Leftarrow ”\forall m\in \mathbb{N},取n=0,则m≠n,于是a^m≠a^n=e,由定义1.2.7知，a的阶是无穷。$
$命题1.2.8设a是群G中一元，a的阶为d，则$
$①\forall h\in \mathbb{Z},有a^h=e⟺d|h,$
$②\forall m,n\in \mathbb{Z},有a^m=a^n⟺d|(m-n)⟺m\equiv n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}d).$
$证：①：“\Leftarrow ”：设h=qd,则a^h=a^{qd}=(a^d{)}^q=e^q=e.$
$“\Rightarrow ”：反设d\nmid h,则有带余除法h=qd+r,0<r<d及a^{qd+r}=e,故(a^d{)}^q{a}^r=e,故a^r=e,而0<r<d.这与“a的阶为d”矛盾。$
$②：a^m=a^n就是a^{m-n}=e,由①立即得证。$
$命题1.2.9设a是群G中一元，a的阶为d,k\in \mathbb{N},则$
$①a^k的阶位d/(d,k),这里(d,k)是d,k的最大公因数；$
$②a^k的阶为d⟺(d,k)=1.$
$证:①:记a^k的阶为q，去证q=d/(d,k).$
$设d=(d,k)d_1,k=(d,k)k_1,则(d_1,k_1)=1.我们依据“两个自然数若互相整除则相等”去证q=d_1,从而完成证明。$
$因a^k的阶为q,(a^k{)}^q=e,即a^{kq}=e,据命题1.2.8①知d|kq,即(d,k)d_1|(d,k)k_{1}q,亦即d_1|k_{1}q,又因(d_1,k_1)=1,故d_1|q.$
$另一方面，(a^k{)}^{d_1}=a^{(d,k)k_1{d}_1}=(a^d{)}^{k_1}=e^{k_1}=e,$
$而a^k的阶为q，据命题1.2.8①，q|d_1,所以q=d_1.$
$②是①的直接推论。$
$命题1.2.10设a,b是群G中的元素，a的阶为m,b的阶为n,ab=ba,(m,n)=1,$
$则ab的阶为mn。$
$证:记ab的阶为q,去证q=mn.$
$因ab=ba,故(ab{)}^{mn}=a^{mn}{b}^{mn}=(a^m{)}^n(b^n{)}^m=e^n{e}^m=e,据命题1.2.8①知q|mn.$
$又(ab{)}^{qm}=a^{qm}{b}^{qm}=(a^m{)}^q(b^{qm})=b^{qm},而（ab{)}^{qm}=((ab{)}^q{)}^m=e^m=e,于是b^{qm}=e,再据命题1.2.8①知n|qm.又因(m,n)=1,故n|q.$
$同理可得m|q.再由(m,n)=1,知mn|q.所以，q=mn.$