离散数学 03.02 谓词公式

$\color{blue}{\S 3.2 谓词公式}$

$\color{blue}{3.2.1 公式}$

$1.常量符号：用小写英文字母a, b, c, \cdots表示，当个体名称集合D给出时，\\ 它可以是D中某个元素。$
$2.变量符号：用小写英文字母x,y,z, \cdots表示，当个体名称集合D给出时，\\ D中任意元素可代入变量符号。$
$3.函数符号：用小写英文字母f,g,\cdots表示，当个体名称集合D给出时，\\ n元函数符号f(x_1, \cdots, x_n)可以是D^n到D的任意一个映射。$
$4.谓词符号：大写英文字母P，Q，R，\cdots表示，当个体名称集合D给出时，\\ n元谓词符号P(x_1, \cdots, x_n)可以是D^n上的任意一个谓词。$

$定义3.2.1.谓词逻辑中的项，被递归定义为：\\ 1) 常量符号是项；\\ 2)变量符号是项; \\ 3) 若f(x_1, \cdots, x_n)是n元函数符号，t_1, \cdots, t_n是项，则f(t_1, \cdots, t_n)是项；\\ 4)所有项都是有限次使用1),2),3)生成的符号串。$

$定义3.2.2.若P(x_1, \cdots, x_n)是n元谓词符号，t_1, \cdots, t_n是项，则P(t_1, \cdots, t_n)是原子。$

$定义3.2.3.谓词逻辑中的公式，被递归定义如下：\\ 1)原子是公式；\\ 2)若G，H是公式，则(\lnot G), (G \lor H), (G \land H), (G \to H), (G \leftrightarrow H)是公式；\\ 3)若G是公式，x是G中的自由变量，则\forall xG, \exists x G是公式；\\ 4) 所有公式都是有限次使用1),2),3)生成的符号串。$

$\color{blue}{3.2.2 解释}$

$定义3.2.4.谓词逻辑中公式G的一个解释I，是由非空区域D和对G中常量符号，\\ 函数符号，谓词符号以下列规则进行的一组指定组成：\\ 1.对每个常量符号，指定D中一个元素；\\ 2.对每个n元函数符号，指定一个函数，即指定D^n到D的一个映射；\\ 3.对每个n元谓词符号，指定一个谓词，即指定D^n到\lbrace 0, 1 \rbrace的一个映射。$
$今后我们对讨论的公式做如下规定：公式中无自由变量，或将自由变量看做常量。$

$对任意公式G，如果给出G的一个解释I，则G在I下有一个真值。记作T_I(G)。$
$例如，给出如下两个公式：\\ 1) G = \exists x (P(f(x)) \land Q(x, f(a))) \\ 2) H = \forall x (P(x) \land Q(x, a))$
$给出如下解释I：D = \lbrace 2, 3 \rbrace$
$\left. \begin{array}{l} a \\ \hline 2 \end{array} \right.$
$\left. \begin{array}{l} f(2) & f(3) \\ \hline 3 & 2 \end{array} \right.$
$\left. \begin{array}{l} P(2) & P(3) & Q(2, 2) & Q(2, 3) & Q(3, 2) & Q(3, 3) \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right.$
$于是，\\ T_I(G) = T_I((P(f(2)) \land Q(2, f(2))) \lor (P(f(3)) \land Q(3, f(2))) \\ = T_I((P(3) \land Q(2, 3)) \lor (P(2) \land Q(3, 3))) \\ = (1 \land 1) \lor (0 \land 0) \\ = 1$
$T_I(H) = T_I(P(2) \land Q(2, 2) \land P(3) \land Q(3, 2)) \\ = 0 \land 1 \land 1 \land 0 \\ = 0$

$定义3.2.5.公式G称为可满足的，如果存在解释I，使G在I下取1值，\\ 简称I满足G。若I不满足G，则称I弄假G。$

$定义3.2.6.公式G称为是恒假的(或不可满足的)，如果不存在解释I满足G；\\ 公式G称为恒真的，如果G的所有解释I都满足G。$