Part I. S1. 模糊集及其运算

1.1 模糊集定义

  设U为论域， ${\mu }_{\tilde{A}}$是论域U到闭区间$[0,1]$的一个映射，即

$${\mu }_{\tilde{A}}:U\to [0,1],u\mapsto {\mu }_{\tilde{A}}(u)\in [0,1]$$
  则称此映射确定了U的一个模糊子集$\tilde{A}$，称${\mu }_{\tilde{A}}$为$\tilde{A}$的隶属函数，${\mu }_{\tilde{A}}(u)$称为对u对$\tilde{A}$的隶属度。
  模糊子集也成为模糊集合。

  示例

一箱橘子共有6个橘子，其成熟度分别为$[0.5,0.7,0.8,0.8,0.5,0.6]$，则这里的成熟度即为每个橘子属于成熟橘子的隶属度

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1.2 模糊集运算

  设$\tilde{A}$，$\tilde{B}$为论域U上的两个模糊子集，则定义$\tilde{A}$与$\tilde{B}$的交、并、补运算如下：
$${\mu }_{\tilde{A}\cup \tilde{B}}(u)={\mu }_{\tilde{A}}(u)\vee {\mu }_{\tilde{B}}(u)$$
$${\mu }_{\tilde{A}\cap \tilde{B}}(u)={\mu }_{\tilde{A}}(u)\wedge {\mu }_{\tilde{B}}(u)$$
$${\mu }_{\widetilde{A^c}}(u)=1-{\mu }_{\tilde{A}}(u)$$
  $\tilde{A}\cup \tilde{B}$、$\tilde{A}\cap \tilde{B}$、$\widetilde{A^c}$分别称为$\tilde{A}$与$\tilde{B}$的并集、交集和补集。

  式中，“$\vee$”表示取大运算，“$\wedge$”表示取小运算，称为Zadeh算子。当论域有限时，“$\vee$”与“$\wedge$”分别表示取最大值和最小值；当论域无限时，分别表示取上、下确界。

  示例

一箱橘子共有6个橘子，分别按照1-6进行编号。甲对各个橘子的成熟度评价结果为$A=[0.4,0.6,0.7,0.4,0.9,0.6]$，乙对各个橘子的成熟度评价结果为$B=[0.6,0.4,0.7,0.8,0.8,0.6]$。从案例来看A与B或不包含也不相等。

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1.3 模糊集的基本定理

定义1.4
  设$\tilde{A}$是论域U上的一个模糊集，对应任一$\lambda \in [0,1]$，有：

(1) 若(A)λ=Aλ={u∣μA~(u)≥λ,u∈U}{(A)}_{\lambda}=A_{\lambda}=\left\{ u|\mu_{\tilde{A}}(u)\geq\lambda,u\in{U}\right\}(A)λ​=Aλ​={u∣μA~​(u)≥λ,u∈U}，则称$A_{\lambda }$为$\tilde{A}$的$\lambda$水平截集，$\lambda$称为水平。

(2) 若(A)λ+=Aλ+={u∣μA~(u)>λ,u∈U}{(A)}_{\lambda+}=A_{\lambda+}=\left\{ u|\mu_{\tilde{A}}(u)\gt\lambda,u\in{U}\right\}(A)λ+​=Aλ+​={u∣μA~​(u)>λ,u∈U}，则称$A_{\lambda +}$为$\tilde{A}$的$\lambda$水平强截集。

定义1.5
  设$\tilde{A}$是论域U上的一个模糊集，$A_1$称为$\tilde{A}$的核，记为$Ker\tilde{A}$；$A_0$称为$\tilde{A}$的支撑集，记为$Supp\tilde{A}$；$A_0-A_1$称为$\tilde{A}$的边界。

定义1.6
  设$\tilde{A}$是论域U上的一个模糊集，$\lambda \in [0,1]$，则定义数$\lambda$与模糊数$\tilde{A}$的乘积$\lambda \tilde{A}$是模糊集合，其隶属函数为
$$(\lambda \tilde{A})(u)=\lambda \wedge \tilde{A}(u)\text{\hspace{1em}(1.1)}$$
  数$\lambda$与模糊集$\tilde{A}$的乘积$(\lambda \tilde{A})$具有以下性质：

(1) 如果${\lambda }_1<{\lambda }_2$，则${\lambda }_1\wedge \tilde{A}\subseteq {\lambda }_2\wedge \tilde{A}$；

(2) 如果${\tilde{A}}_1\subseteq {\tilde{A}}_2$，则$\lambda \wedge {\tilde{A}}_1\subseteq \lambda \wedge {\tilde{A}}_2$。

定理1.1 分解定理

  设$\tilde{A}$是论域U上的一个模糊集，$A_{\lambda }$是$\tilde{A}$的$\lambda$水平截集，$\lambda \in [0,1]$，则$\tilde{A}={\bigcup }_{\lambda \in [0,1]}\left(\lambda A_{\lambda }\right)$。
  其中，$\lambda A_{\lambda }$是常数与普通集合的数量积。

定理1.2 扩张原理
  设U和V是两个论域，映射$f:U\to V$。则由映射f可诱导出一个新的映射，仍记为f：
$$f:F(U)\to F(V),\tilde{A}\mapsto f(\tilde{A})$$
  其隶属函数为
$$f(\tilde{A}(v)=\underset{f(u)=v}{\vee }\tilde{A}(u)\text{\hspace{1em}(1.2)}$$
  此外，由映射f可诱导出另一个新的映射，记作$f^{-1}$：
$$f^{-1}:F(V)\to F(U),\tilde{B}\mapsto f^{-1}(\tilde{B})$$
  其隶属函数为
$$f^{-1}(\tilde{B})(u)=\tilde{B}(f(u))\text{\hspace{1em}(1.3)}$$
  称$f(\tilde{A})$为$\tilde{A}$的镜像，$f^{-1}(\tilde{B})$为$\tilde{B}$的原像。

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特别说明：本专栏主要参考郭子雪等所著《直觉模糊多属性决策理论方法及应用研究》书籍，部分代码计算结果与书中有所出入，请仔细甄别！