动态规划算法总结

题目类型分类

动态规划一般可分为线性动规，区域动规，树形动规，背包动规，四类。

线性动规：拦截导弹，合唱队形，挖地雷，建学校，剑客决斗，钢条切割（新版《算法导论》动规第一道例题）等

区域动规：石子合并， 加分二叉树，统计单词个数，炮兵布阵等

树形动规：贪吃的九头龙，二分查找树，聚会的欢乐，数字三角形等

背包动规：0-1背包问题，完全背包问题，分组背包问题，二维背包，装箱问题，挤牛奶等

适用条件

任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定条件，它就失去了作用。同样，动态规划也并不是万能的。适用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性。

1.最优化原理（最优子结构性质） 最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之， 一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。

2.无后效性将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态， 它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又称为无后效性。

3. 子问题的重叠性 动态规划将原来具有指数级时间复杂度的搜索算法改进成了具有多项式时间复杂度的算法。其中的关键在于解决冗余，这是动态规划算法的根本目的。动态规划实质上是一种以空间换时间的技术，它在实现的过程中，不得不存储产生过程中的各种状态，所以它的空间复杂度要大于其它的算法。

设计算法

当我们已经确定待解决的问题需要用动态规划算法求解时，通常可以按照以下步骤设计动态规划算法：
1、分析问题的最优解，找出最优解的性质，并刻画其结构特征；
2、递归地定义最优值；
3、采用自底向上的方式计算问题的最优值；
4、根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。