PCA方法，自编码模型（AE，SAE，DSAE等）

自编码模型，是非监督方法，能够完成特征的压缩和提取；
PCA是线性降维方法，是自编码模型的基础；

1. PCA

PCA 是主成分分析方法，主要是用来数据预处理，降低维度，提取关键的特征（去除冗余的特征）；
首先回顾一下协方差：协方差反应出两两维度之间的关联，越大越关联；

$$\mathcal cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E[XY]-E[X]E[Y]$$
方差：
$$D(X)=E[(X-E(x))^2]=E[X^2]-(E[x])^2$$
相关系数： (协方差的标准化)
相关系数主要是说明X，Y之间的线性相关性，当 $rho>0$，正相关；等于0，不相关，负数负相关；
$$\rho =\frac{cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$$
为什么是线性线性呢？
首选我们假设 $Y=aX+b$，那么 $cov(X,Y)=aD(x)$,分母是 $|a|D(x)$,所以 $\rho$取决于系数a的正负；

实例：
对于原始样本x，我们对其进行编码

$$c=f(x)$$ , 最后再构造一个解码函数 $x\approx g(c)=g(f(x))$,定义 $g(x)=Dc$,那么，我们最小化损失函数：
$$\min_c |x-Dc|^2$$
通过对c求导为零， 我们可以得到 $c=D^Tx$ ,这就是我们的编码函数；

进一步地，给定$X$,我们得到其协方差矩阵$C_x=\frac{1}{n}XX^T$,n 是特征维度；
我们引入编码函数D，$Y=PX$,构造Y的协方差矩阵；

$$C_y=\frac{1}{n}YY^T=PC_XP^T$$
我们希望Y的特征间的关联小，即 $C_y$中的对角线值尽可能的大，其余位置为零，变成对角矩阵；

基于特征分解的方式：
$C_x$是对称矩阵，那么我们可以分解成：$C_x=S\Lambda S^{-1}=S \Lambda S^T$, 令$P=S^T$，那么：

$$C_y=P C_xP^T=PS\Lambda S^T P^T=PP^{-1}\Lambda P P^{-1}=\Lambda$$
由上可知，我们的目标就是求得 $C_x$的特征向量，和特征值；

基于SVD分解的方式
一个矩阵可以分解成三个矩阵相乘的形式：

$$M=U\Sigma V^T$$
因此有：
$$MM^T=U \Sigma V^TV\Sigma^TU^T=U\Sigma \Sigma^TU^T$$
$$M^TM=V\Sigma^TU^TU \Sigma V^T=V\Sigma^T \Sigma V^T$$
现在令 $Y=\frac{1}{\sqrt{n}}X^T$,那么
$$Y^TY=\frac{1}{n}XX^T=C_x=V\Sigma^T \Sigma V^T$$
因此，我们可以直接对Y进行矩阵分解，获得的V 就是所需要的P；

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2. AE

自编码模型AutoEncode，只有一层隐藏层；尽可能的复现原始信号，是PCA的扩展，获取有效的特征；

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3.SAE

Sparse AutoEncode 稀疏自编码模型，目的是抑制一些神经元的活性，使得code层更加的稀疏；

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4.DAE

Denoising AutoEncoders降噪自动编码器;
在原始的文本中加入噪音，提高其泛化能力，鲁棒性高；
加入训练数据加入噪声，DAE必须学习去去除这种噪声而获得真正的没有被噪声污染过的输入。 DAE可以通过梯度下降算法去训练。
一般上，我们将原始文档一式二份，一份加入噪声，然后进行训练；最后可以使用KL散度进行度量；

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5. CAE

Contractive auto-encoders
收缩编码模型，在损失函数中加入W的正则项；

6. SDAE

Stack Denoising AutoEncoders;栈式降噪变=自动编码器；
>本质上就是将原来的一层结构拓展，类似栈结构；

7. VAE

变分自动编码；标准的编码器不能获得新的特征，即不会进行合理的推测而产生有效的结果；（GAN网络类比）；
在AE上，强迫潜在变量服从高斯分布，这样经过采样，产生一些新的特征；

参考文献：
http://blog.youkuaiyun.com/hjimce/article/details/49106869
VAE： http://www.cnblogs.com/huangshiyu13/p/6209016.html