红黑树的删除之3（共四篇）

  红黑树的删除操作是红黑树最复杂的操作了，只要搞明白这个，基本上就明白红黑树的调整。删除的情况大致可以分为四种。

case 1. .删除节点z,，子节点少于两个时，左儿子为T.NIL，用右儿子代替z

case 2. 删除节点z，子节点少于两个时，右儿子为T.NIL，用左儿子代替z

case 3 删除节点z，有两个子节点时，找出后继节点y，如果后继节点y是右儿子，直接用y子树替换z节点

case 4删除节点z，有两个子节点时，找出后继节点y，如果后继节点不是右儿子，用后继节点的右儿子x子树替换y子树，再用后继节点y子树替换z节点。

下面看看图形展示这四种删除情况，其中z节点表示想要删除的节点，y节点表示真正删除的节点（从删除节点的颜色角度来看），x表示要替换y的节点。由于y的颜色可能改变，用y-original-color表示y颜色改变之前的颜色

伪代码如下：

RB-DELETE(T, z)
  y = z;
  y-original-color = y.color;
  if z.left == T.NIL
    x = z.right;
    RB-TRANSPLANT(T, z, z.right);
  else if z.right == T.NIL
    x = z.left;
    RB-TRANSPLANT(T, z, z.left);
  else y = TREE-MINMUM(z.right)
    y-original-color = y.color;
    x = y.right;
    if y.p = z;
      x.p = y;
    else RB-TRANSPLANT(T, y, y.right)
         y.right = z.right; 
         y.right.p = y;
    RB-TRANSPLANT(T, z, y)
    y.left = z.left;
    y.left.p = y;
    y.color = z.color;
  if y-original-color == black
    RB-DELETE-FIXUP(T, x)

 

  可以看到，如果y是黑色的，就肯定破坏了红黑树的性质了。如果y是红色的，红黑树性质依然保持，因为树的黑高没有改变，也不存在两个相邻的的红色节点，性质4和5没有任何改变。所以y是黑色的时候需要通过RB-DELETE-FIXUP来调整修正。下面来看看如何调整。

 违反性质2的情况：如果y是原来的根节点，而y的一个红色孩子成为新的根几点，就违反了性质2，但是这很容易解决，直接染黑就是了，不再继续讨论这种情况。

 违反性质4的情况：x节点为红色，x的父节点也为红色，这种情况也很容易解决，染黑x就是了。

 剩下的情况就是只违反了性质5，只要调整好性质5就好了，这里有一个技巧，就是把x节点视为还有一层黑色，问题就变成了解决违反性质1了，也就是把x看成既红又黑，我们只要把这层额外的黑色不断往上推，直到推给了一个红色节点，那么子树的黑高就恢复了。和插入一样，有个关键思想是，转换过程中千万不能破坏其他任何的性质。经过分析，破坏性质1（本质上是破坏性质5）有以下五种情况：

  case 1 x是红色的

  case 2. x的兄弟节点w是红色的

  case 3 x的兄弟节点w是黑色的，而且w的两个子节点都是黑色的

  case 4 x的兄弟节点w是黑色的，w的左儿子是红色的，w的右孩子是黑色的

 case 5  x的兄弟节点w是黑色的，且w的右孩子是红色的。

如下图所示：

case 1是最容易解决的，直接染黑就是了。

case 2的话，改变w和x.p的颜色，左旋转x.p，这样子不改变任何性质的同时，把case 2转变为case 3，4，5。不做详细讨论

伪代码为：

 

w.color = black;
x.p.color = red;
LEFT-ROTATE(T, x.p)
w = x.p.right;

 

 

 

case 3的话，可以认为从x和w去掉一层黑色给x.p，如果x.p为原本为红色的话，那么x的子树黑高加一，w子树黑高不变，性质就恢复好了，如果x.p原来为黑色的，那么认为x.p的整个子树黑高都少了1，多了的一层黑色就给了x.p，case3就转为case 2,3,4,5了。

伪代码如下：

 

  w.color = red;
  x = x.p

case 4的情况左侄儿为红，右侄儿为黑，这种情况统一转case 5来处理。

 

这里右旋w并且没有改变红黑树的五大性质，转为了case5。伪代码如下：

 

w.left.color = black;
w.color = red;
RIGHT-ROTATE(T, w)
w = x.p.right;

case 5的情况是红黑树调整的出口，只要到达了case 5，调整完就能恢复所有性质了。调整如下图所示：

 

接下来分析case5的转换过程，这里的思路是这样的：首先我们要让x子树黑高加一，那么就左旋转a，左旋转后d的左子树没有任何问题，但是右子树黑高可能减少了1（如果a原来是黑色的情况），为了解决这个问题，可以把a和d颜色交换，然后染黑c，这样左旋转后的d的右子树的黑高也就不会有任何改变了。伪代码如下：

 

w.color = x.p.color;
x.p.color = black;
w.right.color = black;
LEFT-ROTATE(T, x.p);
x = T.root;

 

 

 

为了能在全局下看到调整情况，下面展示整个删除调整的过程伪代码：

 

RB-DELETE-FIXUP(T, x)
 while x != T.root && x.color = black
   if x == x.p.left
     w = x.p.right
     // case 2
     if w.color = red
       w.color = black;
       x.p.color = red;
       LEFT-ROTATE(T, x.p)
       w = x.p.right;
     // case 3
     if w.left.color == black && w.right.color == black
       w.color = red;
       x = x.p;
     // case 4
     else if w.right.color == black
       w.left.color = black;
       w.color = red;
       RIGHT-ROTATE(T, w)
       w = x.p.right;
     // case 5
     w.color = x.p.color;
     x.p.color = black;
     w.right.color = black;
     LEFT-ROTATE(T, x.p);
     x = T.root;