模拟退火算法

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原理

模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为exp（-ΔE/(kT)），其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。

步骤

1）随机给定初始状态，设定合理的退火策略。（选择各参数值、初始温度T0、降温规律等）

2）令x‘=x+△x（△x为小的均匀分布的随机扰动），计算 △E=E（x’）-E（x）。

3）若△E<0，则接受x’为新的状态，否则以概率P=exp(-△E/(kT))接受x’，其中k为波尔兹曼常数。具体做法是产生0到1之间的随机数a，若P>a则接受x’，否则拒绝x’，系统仍停留在状态x。

4）重复步骤2)、3）直到系统达到平衡状态。

5）按第1）步中给定的规律降温，在新的温度下重新执行2）~4）步，直到T=0或者达到某一预定低温。

由以上步骤可以看出，△E>0时任然有一定的概率（T越大概率越大）接受x’，因而可以跳出局部极小点。理论上说，温度T的下降应该不快于：

T(t)=T0/(1+lnt),t=1,2,3,…

其中T0为起始高温，t为时间变量。常用的公式是T(t)=aT0(t-1)，其中0.85≦a≦0.98。