求质数与因式分解

求解质数与因式分解，也是算法和数据结构的基础知识之一，在常见的面试、等级资格考试中也经常出现，这里，我来说一下，如何使用JAVA语言，求解质数与因式分解。

1、求解质数

1.1 说明

首先，我们来了解这样一个概念，那就是什么叫做质数？质数：一个数如果只能被1和它自己整除，这样的数被称为质数，与之对应的，称为和数。基于这样的一个概念，我们可以很快想到一个方法，就是从1开始，不断试探，看从1到它自己，是否有数字能够被他整除。

这样看来，其实求质数很简单，我们有没有更加便捷的方式呢？在这里介绍一个著名的 Eratosthenes求质数方法。

1.2 解法

首先知道这个问题可以使用回圈来求解，将一个指定的数除以所有小于它的数，若可以整除就不是质数，然而如何减少回圈的检查次数？如何求出小于N的所有质数？

假设要检查的数是N好了，则事实上只要检查至N的开根号就可以了，道理很简单，假设A*B = N，如果A大于N的开根号，则事实上在小于A之前的检查就可以先检查到B这个数可以整除N。不过在程式中使用开根号会精确度的问题，所以可以使用 i*i <= N进行检查，且执行更快。

再来假设有一个筛子存放1～N，例如：

2　3　4　5　6　7　8　9　10　11　12　13　14　15　16　17　18　19　20　21 ........ N

先将2的倍数筛去：

2　3　5　7　9　11　13　15　17　19　21 ........ N

再将3的倍数筛去：

2　3　5　7　11　13　17　19　........ N

再来将5的倍数筛去，再来将7的质数筛去，再来将11的倍数筛去........，如此进行到最后留下的数就都是质数，这就是Eratosthenes筛选方法（Eratosthenes Sieve Method）。
检查的次数还可以再减少，事实上，只要检查6n+1与6n+5就可以了，也就是直接跳过2与3的倍数，使得程式中的if的检查动作可以减少。

  1.3 代码

import java.util.*;

public class Prime {    
    public static int[] findPrimes(final int max) { 
        int[] prime = new int[max+1]; 
        ArrayList list = new ArrayList();

        for(int i = 2; i <= max; i++) 
            prime[i] = 1; 

        for(int i = 2; i*i <= max; i++) { // 这边可以改进 
            if(prime[i] == 1) { 
                for(int j = 2*i; j <= max; j++) { 
                    if(j % i == 0) 
                        prime[j] = 0; 
                } 
            } 
        } 

        for(int i = 2; i < max; i++) { 
            if(prime[i] == 1) { 
                list.add(new Integer(i)); 
            } 
        }
        
        int[] p = new int[list.size()];
        Object[] objs = list.toArray(); 
        for(int i = 0; i < p.length; i++) {
            p[i] = ((Integer) objs[i]).intValue();
        }
        
        return p;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        int[] prime = Prime.findPrimes(1000);
        
        for(int i = 0; i < prime.length; i++) {
            System.out.print(prime[i] + " ");
        }
        
        System.out.println();
    }
}

2、因式分解

2.1 说明

如上所示，我们先来了解一下，什么叫做因式分解？将一个数，转换成另外几个数字的乘积，就被称为因式分解。当了解到这样一个概念之后，我们对比上面的求解质数，应该能够明白，其实这里我们是在求解一个和数的因子。

因式分解基本上就是使用小于输入数的数值当作除数，去除以输入数值，如果可以整除就视为因数，要比较快的解法就是求出小于该数的所有质数，并试试看是不是可以整除。

2.2 代码

import java.util.ArrayList;

public class Factor {
    public static int[] factor(int num) {
        int[] pNum = Prime.findPrimes(num);
        
        ArrayList list = new ArrayList();
        
        for(int i = 0; pNum[i] * pNum[i] <= num;) { 
            if(num % pNum[i] == 0) { 
                list.add(new Integer(pNum[i]));
                num /= pNum[i]; 
            } 
            else 
                i++; 
        } 

        list.add(new Integer(num));
        
        int[] f = new int[list.size()];
        Object[] objs = list.toArray();
        for(int i = 0; i < f.length; i++) {
            f[i] = ((Integer) objs[i]).intValue();
        }
        
        return f;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        int[] f = Factor.factor(100);
        for(int i = 0; i < f.length; i++) {
            System.out.print(f[i] + " ");
        }
        System.out.println();
    }
}

3、总结

求解质数与因式分解，是学习程序与算法的基本功，应该熟练掌握，这里的代码只有少量的注释，可能对于初学者来说，略感吃力，但是这是进入程序算法殿堂的第一步。大家可以将这段代码拷贝到自己的机器上，逐步填上注释，让自己对程序流程更加清晰。

欢迎交流。