拯救湖心的风筝（一道趣味平面几何问题）

原题出自：http://topic.youkuaiyun.com/u/20110617/10/f9b370a2-dad8-42ad-9202-86e23cd84dea.html

 

问题描述：小华和小明的风筝不小心断了线，掉到了一个圆形湖圆心处的孤岛上。两人都不会游泳，幸好湖边有一条小船，不过可惜没有桨，也没有其他的动力工具。船上放着 一根绳子，两人决定利用这根绳子，将一头栓在船上，小华上船，小明在岸边拉绳子使船移动的方法，靠近小岛，由小华取回风筝，再由小明把船拉回岸边。如果他们最后成功了，请问这根绳子最少要有多长（栓在船上的部分不计）？他们是怎么做到的？

 

 

分析：设湖的圆心为O，湖的半径为r。显然绳子长度>=r, 问题是能不能达到r。下面用逼近的思想，说明绳子长度理论上应该可以做到最短为湖的半径r，具体做法是（参考下图）：首先船位于A点不动（小华在船上），另一个人（即小明）手中拿着绳子沿着湖边走，直到B点，这时刚好把绳子拉直（可以做到这一点，因为设|AB|表示线段AB的长度，则A到沿途中任何点的弦都小于|AB|）,设该绳子对应的线段为AB（A是船开始所在位置，B是人所在位置），然后小明停下来开始把船拉到AB的中心位置（即O到AB的垂点位置P）让船静止。接下来，保持船静止，小明拿着绳子沿着湖边走到B'，这时他停下来刚好把绳子拉直，设该绳子对应的线段为A'B'（或PB'），然后开始把船拉到P'位置让它停下来（小明的动作必须温柔，否则由于惯性，船会移动），这里P'是O到线段A'B'的垂点,显然P'比上一次 的位置P更接近圆心O点(因为|OP'|<|OP|)，按这种方式进行下去，每次得到船的停止位置都比上一次停止位置更接近O点。到此为止讨论的绳子长度可以是一个任意长度s(甚至s可以小于r)，显然如果要让船到达湖心O点，绳子的极限值是湖的半径r。

 

图中绿色实线是船经过的路径，这里只显示两步。上面第二步操作中因为OB'=r>OA'，所以P'比上一次的P点更靠近A'，即每一次拉船的行程比上一次的行程要小。如果要精确计算的话，|OP|=sqrt(3)/2 * r,  |OP'| = sqrt(39)/8 * r。一般情况下，设上一次操作中O到垂点P的高度为x，则下一次操作中O到垂点P的高度则为x * sqrt(r^2 - x^2 / 4) / r。

 

如何计算小明走过的距离？

第二步操作中小明走过的一段距离为B到B'的弧长，如果知道BOB'的夹角就可以算出该弧长。设BOB'的夹角为theta，设|OP|=x，夹角OBA为alpha，可以通过sin(alpha) = x/r算出alpha，这样可以算出夹角POB = PI/2 - alpha，由于三角形OPB'是腰长等于r的等腰三角形，如果设夹角POB'等于beta，可以得到：cos(beta) = (x/2)/r=x/(2*r)，这样算出beta之后，就可以算出theta = beta - 夹角POB = beta - (PI/2 - alpha) = beta + alpha - PI/2。所以B到B'的弧长 = r*theta = r*(beta + alpha - PI/2)。

 

 

 

程序：（计算小明和船走过的路程）

public class KiteSalvage { //return the boat's distance and xiaoming's distance in total public static double[] solve(double r){ double epsilon = 0.5; //unit: meter ( = r's unit) //set initial values double x = Math.sqrt(3)/2.0 * r; double xiaoming = Math.PI/3.0 * r; double boat = r/2.0; while(true){ double x_prime = x * Math.sqrt(r*r - x*x/4.0) / r; boat += Math.sqrt(x*x - x_prime*x_prime); double alpha = Math.asin(x/r); double beta = Math.acos(x/2.0/r); double theta = beta + alpha - Math.PI/2.0; xiaoming += r*theta; if(Math.abs(x_prime - x)< epsilon){ break; } x = x_prime; } return new double[]{xiaoming,boat}; } public static void main(String[] args) { double r = 100; //100 meter for the lake double[] result = KiteSalvage.solve(r); System.out.format("For lake radius %.2f, Xiaoming'd total distance = %.2f, Boat's total distance = %.2f%n",r,result[0],result[1]); } }

 

测试：

For lake radius 100.00, Xiaoming'd total distance = 885.87, Boat's total distance = 416.45