约瑟夫问题的数学解法

约瑟夫问题：

n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开
始报数。求胜利者的编号。

用数学方法解的时候需要注意应当从0开始编号，因为取余会等到0解。

实质是一个递推，n个人中最终剩下来的序号与n-1个人中剩下来的人的序号有一个递推关系式。

分析如下：

假设我们第m-1个人退出。

0, 1, 2, 3, ..., m-2, m-1, m, ..., n-1　　//original sequence (1)

0, 1, 2, 3, ..., m-2,      , m, ..., n-1　　//get rid of kth person (2)

m, m+1, ..., n-1,    0,    1,        ..., m-2　　//rearrange the sequence (3)

0, 1,     ..., n-m-1, n-m, n-m+1, ..., n-2　　//the n-1 person (4)

我们假设f(n)的值为n个人中最后剩下来的人的序号，则

注意到(2)式(3)式(4)式其实是同一个序列。

观察(1)式和(4)式，可以看出这两个序列是同一个问题，只是人数不同而已。

假设我们已知f(n-1)，即(4)式中最后剩下来的人的序号，则(3)式所对应的序号，就是f(n)，即(1)式n个人中最后剩下来人的序号。

从（3）式和（4）式，我们不难得出这样一个递推公式：

f(n) = (f(n-1) + m) % n

当n=1时，显然，f(1) = 0

于是递推得f(n)

具体实现代码：

循环：

int Joseph(int n, int m)
{
	int result = 0; 

	for (int i=2; i<=n; ++i)
	{
		result = (result+m)%i;
	}
	return result;
}

递归：

int Joseph(int n, int m)
{
	if(n==1)
		return 0;
	return ((Joseph(n-1,m)+m)%n);
}