凸规划问题与二阶锥规划

半截木头渡海洋

已于 2022-05-21 23:56:18 修改

阅读量2.2w

点赞数 8

分类专栏：数学基础文章标签：凸规划二阶锥规划线性规划 sedumi

于 2018-10-12 11:39:38 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ljl86400/article/details/83023635

版权

数学基础专栏收录该内容

16 篇文章

订阅专栏

如果对于自变量x1、x2以及参数λ，有

$f(\lambda x_{1} + (1- \lambda ) x{_2}) \leqslant \lambda f(x{_1}) + (1-\lambda)f(x{_2})$

则认为f是凸函数，进一步，如果

$f(\lambda x_{1} + (1- \lambda ) x{_2}) < \lambda f(x{_1}) + (1-\lambda)f(x{_2})$

则认为f是严格凸函数。

R向量空间中，如果集合 S 中任两点的连线上的点都在 S 内，则称集合 S 为凸集。

在凸集范围内，求凸函数在约束条件下的最小值成为凸规划,即：

$min( f(x))$

s.t $g{_i}(x)\le 0$

$h{_i}(x) = 0$

如果C∈R^n向量空间，对于任意x∈C，有ax∈C，则称C为锥集（类似于空间绝对可积、有界的概念）；进一步如果对于任意x∈C、y∈C，有ax + by ∈C ，则称C为凸锥集（类似于绝对可和+绝对可积、有界的概念）；进一步的，如果向量 x∈R^n-1 以及数值 t∈R，总满足关系式 ||x|| ≤ t，则称所有（x，t）组成的集合为标准集；如果标准集成立条件中的x范数取为二阶，则称（x,t）为二阶锥集，但是在二阶锥的定义中限定了t≥0。

在二阶锥范范围内求解约束条件下目标凸函数的最小值，就是二阶锥规划。

关于凸优化问题的求解可以借助matlab工具包sedumi进行计算：

sedumi帮助文档中的第一个例子

首先看文档中对公式形式，以及变量的约定，对于原始标准形式：

$min(c^{T}x)$

s.t

$Ax = b$

$x{_i}\geqslant 0$

或者上者的等价形式：

$max(b^{T} y)$

s.t $c{_i} - a{_i}^{T}y \geqslant 0$

有了以上约定，假设我们现在面临这样一个线性规划问题：

min（ $x{_1}-x{_2}$ ）

s.t

$10x{_1}-7x{_2}\ge5$

$x{_1}+1/2x{_2}\le3$

$x{_1}\ge0$ , $x{_2}\ge0$

按照文档中的变量约定（约束条件1是≥号，需要在括号左边减去一个或多个非负松弛变量，使≥转换成标准形式的=；同理约束条件2中，需要添加非负松弛变量，使其变成标准形式中的等号）

 c = [1;-1;0;0];
A = [10,-7,-1,0;1,1/2,0,1];
b = [5;3];
sedumi(A,b,c)

计算结果如下

SeDuMi 1.3 by AdvOL, 2005-2008 and Jos F. Sturm, 1998-2003.
Alg = 2: xz-corrector, Adaptive Step-Differentiation, theta = 0.250, beta = 0.500
eqs m = 2, order n = 5, dim = 5, blocks = 1
nnz(A) = 6 + 0, nnz(ADA) = 4, nnz(L) = 3
 it :     b*y       gap    delta  rate   t/tP*  t/tD*   feas cg cg  prec
  0 :            6.02E+00 0.000
  1 :  -1.20E+00 1.84E+00 0.000 0.3055 0.9000 0.9000   1.86  1  1  2.1E+00
  2 :  -6.94E-02 5.15E-01 0.000 0.2803 0.9000 0.9000   2.14  1  1  8.6E-01
  3 :  -1.21E-01 2.72E-02 0.000 0.0528 0.9900 0.9900   1.16  1  1  4.2E-02
  4 :  -1.25E-01 8.69E-06 0.000 0.0003 0.9999 0.9999   1.02  1  1  
iter seconds digits       c*x               b*y
  4      0.3   Inf -1.2500000000e-01 -1.2500000000e-01
|Ax-b| =   1.3e-15, [Ay-c]_+ =   0.0E+00, |x|=  2.9e+00, |y|=  2.8e-01

Detailed timing (sec)
   Pre          IPM          Post
9.600E-01    5.660E-01    5.899E-02    
Max-norms: ||b||=5, ||c|| = 1,
Cholesky |add|=0, |skip| = 0, ||L.L|| = 1.

ans =

   (1,1)      1.958333333333333
   (2,1)      2.083333333333333

通过以上结果我们可以发现，c*x的最大值或者b*y的最小值是-1.2500000000e-01，以及对应的x1 = 1.958333333333333 ，x2 =2.083333333333333

并且结果中给出了误差|Ax-b| = 1.3e-15