hrbust 2374 Lcm function

最新推荐文章于 2020-10-20 20:16:58 发布

古宇hhh

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分类专栏：数论

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本文介绍了一种计算特定数学函数f(n)的方法，该函数统计了所有最小公倍数等于n的数对数量。通过分析质因数分解，并利用乘法原理，文章提出了一种快速求解方案。

题意：
我们定义了一个函数 f(n)，这个函数的定义如下：
对任意1<=i<=j<=n，f(n)等于所有lcm(i,j)=n的数量，
其中lcm为最小公倍数。

现在给你一组数，你需要去求所有的f(n)。

题解：
已知一个升序的质数表P1P2P3……PnPn+1……
对于一个正整数M，M一定可以表示为P1a1P2a2P3a3……
对于两个数M1， M2
M1 = P1b1P2b2P3b3……，M2 = P1c1P2c2P3c3……
LCM(M1, M2) = P1max(a1, b1)P2max(a2, b2)P3max(a3, b3)……

如果LCM(M1, M2) = M，那么ai = max(bi, ci) for any i >= 1

所以只需要保证bi=ai或者ci=ai

也就是(0,ai),(1,ai)....(ai,ai)....(ai,1),(ai,0)

对于每个质因数，都能提供2*ai+1种可能。

根据乘法原理，所有有序对数等于0.5*（ai*2+1）

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
#define LL long long
vector<LL>v;
#define N 10000005
vector<LL>prime;
int f[N];
void Init()
{
    for(int i=2; i<N; i++)
    {
        if(f[i]==0)
        {
            prime.push_back(i);
            for(int j=2; i*j<N; j++)
            {
                f[i*j]=1;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    int T;
    Init();
    int m=prime.size();
    while(~scanf("%d",&T))
    {
        LL n;
        while(T--)
        {
            scanf("%lld",&n);
            LL s = sqrt(n);
            v.clear();
            for(int i=0; i<m; i++)
            {
                if(n%prime[i]==0)
                {
                    int c=0;
                    while(n%prime[i]==0)
                    {
                        c++;
                        n/=prime[i];
                    }
                    v.push_back(c);
                }
            }
            if(n!=1)v.push_back(1);
            LL res=1;
            int len=v.size();
            for(int i=0; i<len; i++)
            {
                res=(res*(v[i]*2+1));
            }
            cout<<int((1+res)*0.5)<<endl;
        }
    }
}