简单的概率问题

高中数学知识都还给老师了，一个简单的概率问题都困扰良久，汗颜啊。。。

是这样的一个问题：一个人从第 i 个节点走上第 i+1 个节点的概率是 p。从第 i 节点到第 i+1 节点算作一步。现在需要验证此人走 0 步，走 1 步，走 2 步，。。。走 n 步的概率之和为  1.

解决方法是：

走 0 步的概率：1-p

走 1 步的概率：p

走 2 步的概率：p^2

...

走 n 步的概率：p^n-1

将各个概率相加：1-p + p+ p^2 + p^3 + ......

这显然是大于 1 的！错误出现在哪儿呢？

走 0 步的概率确实为 1-p，只需要此人不迈开步即可。那走一步的概率是 p 吗？当迈开腿后的概率是 p，但无法保证此人是否还会继续往前走！因此，p 不是此人只走一步的概率，而是此人起码走一步的概率！此人只走一步的概率应该是：p(1-p)，不仅要保证此人迈开腿，还要保证只迈一次腿。

因此：

走 0 步的概率：1-p

走 1 步的概率：p(1-p)

走 2 步的概率：p^2( * 1-p)

...

走 n 步的概率：p^n-1 * (1-p)

相加的结果正好是 1 ！