异或树

最新推荐文章于 2023-10-05 21:51:11 发布
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本文探讨了如何利用异或树解决树上两点间异或距离的问题，包括等于某个值和小于某个值的情况。通过深度遍历、节点到根节点的异或距离以及前缀树等方法，提出了解决这两个问题的高效算法，降低时间复杂度到线性级别。

下面两个问题：

1.给定一棵有 N （1 < N < 500000）个节点的树，定义两点之间的异或距离为这两个点之间的路径上的边的长度 L 

（ 0 < L < 500000）的异或值，问有多少点对的异或距离等于 K （0 < K < 500000）。

2.给定一棵有 N （1 < N < 500000）个节点的树，定义两点之间的异或距离为这两个点之间的路径上的边的长度 L

（0 < L < 2 的31次方 -1）的异或值，问有多少点对的异或距离小于 K（0 < K < 2 的31次方 -1）。

两个点之间的路径是惟一的，这是因为树中不存在环，所以不存在多条可达路径。（树的结构是：每个节点有一个或者多个子节点，一个节点只有一个父亲节点，不同节点的子树不相交（不存在环结构））。所以上面两个问题中，点对的路径是惟一的，所以两个点的异或距离是惟一的。如图 1 ，举例说明两个点之间的异或距离。


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### 线段树区间修改异或实现方法 #### dfs序与线段树结合处理子树异或操作 对于给定的一棵树，通过dfs遍历可以得到节点访问顺序即dfs序。利用这一特性，在执行`pow x`操作时，只需在线段树上对表示该子树区间的部分进行懒惰标记设置为要异或的值即可完成整棵子树节点值的批量更新[^1]。 ```cpp void update(int node, int start, int end, int l, int r, int val) { if(lazy[node]) { // 如果当前结点存在延迟标记，则先应用之 tree[node].sum ^= lazy[node]*(end-start+1); if(start != end){ lazy[node*2] ^= lazy[node]; lazy[node*2+1] ^= lazy[node]; } lazy[node] = 0; } if(r < start || end < l) return; // 当前区间与目标无交集 if(l <= start && end <= r){ // 完全覆盖的情况 tree[node].sum ^= val*(end-start+1); if(start != end){ lazy[node*2] ^= val; lazy[node*2+1] ^= val; } return ; } int mid = (start + end)/2; update(node*2, start, mid, l, r,val); update(node*2 + 1, mid + 1, end,l,r,val); tree[node].sum = tree[node*2].sum + tree[node*2+1].sum; } ``` 此代码片段展示了如何基于dfs序构建线段树并支持区间内的异或操作。每当遇到需要对某个特定子树实施整体变换的任务时，这段程序能够高效地完成任务。 #### 对于单个二进制位建立多棵线段树管理 考虑到直接针对整个数值范围做异或可能带来的不便之处，另一种策略是对每一位单独设立独立的数据结构来进行追踪。具体来说，就是按照各个二进制位置分别创建不同的线段树实例，从而简化了实际编程过程中的逻辑判断，并提高了算法效率[^2]。 每棵这样的线段树专门负责记录某一位在整个序列里‘1’的数量变化情况；当面临查询请求或者更改指令时，只需要逐位分析其影响再累加结果便能得到最终答案。这种方法特别适用于那些涉及到频繁读取/改写大量数据的应用场景之中。 #### 区间覆盖优化技巧 除了上述两种方式外，还有其他手段可用于加速含有异或特性的区间更新流程。例如采用更精细的设计使得每次仅需O(log N)时间就能同步多个连续单元格的状态转换——这便是所谓的“区间覆盖”。它允许我们在不影响性能的前提下轻松应对更大规模的问题实例[^3]。 综上所述，无论是借助DFS次序还是细粒度分割至每位层面亦或是巧妙运用区间覆盖机制，这些方案都提供了有效途径来解决带有异或性质的动态规划挑战。
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