列空间和零空间

定理2 mn矩阵A的零空间是Rn的一个子空间，等价地，m个方程，n个未知数的齐次线性方程组Ax=0的全体解的集合是Rn的子空间。
（需要注意的是，这里用的是一个齐次方程组）
矩阵的列空间
定义：mn矩阵的列空间（记为colA）是由A的列的所有线性组合组成的集合，若A=[a1,…,an], 则colA = Span{a1,…,an}
定理3 m*n矩阵A的列空间是Rm的一个子空间。
定义：令H是向量空间V的一个子空间，V中向量的指标集B={b1,…,bp}称为H的一个基，如果
a B是一线性无关项
b 由B生成的子空间和H相同，即H=Span{b1,…,bp}
定理5 （生成集定理）
令S={v1,…,vp}是V中的向量集，H=Span{v1,…,vp}
a 若S中某一个向量，比如vk，是S中其余向量的线性组合，则S中去掉vk后形成的集合仍然可以生成H
b 若H不等于{0},则S的某一个子集是H的一个基。
定理 6 矩阵A的主元列构成ColA的一个基。
（对于ColA的基，要慎重使用A本身的主元列，阶梯型B的主元列通常不在A的列空间中）
坐标系：
定理7 （唯一表示定理）
令B={b1,…,bn}是向量空间V的一个基，则对V中每个向量x，存在唯一的一组数c1,…,cn使得 x=c1b1+…+cnbn