JZOJ 5275. 水管

Description

Input

Output

Sample Input

1
5 7
1 2 2
1 4 1
2 4 2
4 3 2
2 3 1
4 5 1
1 5 2

Sample Output

5
No

Data Constraint

Hint

Solution

• 显然，第一个询问就是简单的最小生成树，直接打一个 Kruskal 算法过掉。

• 但问题是如何判断答案是否是唯一的?

• 考虑枚举一条未加入最小生成树中的边 $x$，若加入其中，则必定构成一个环。

• 且该环除了 $x$ 以外的边的最大权值一定不比 $x$ 大，否则 $x$ 可以代替该边，不符最小生成树的定义。

• 那么我们只要找到那个最大权值，判断是否小于 $x$ 的权值即可。

• 若有某个边相等，则还有别的连接方案，不然答案就是唯一的。

• 枚举边已经是 $O(M)$ 的了，那么如何快速求出路径上的最大权值呢？

• 可以运用倍增。开始时将最小生成树定一个根，并处理出该树的信息。

• 之后倍增维护路径上的最大值即可，总时间复杂度为 $O(M\ log\ M)$ 。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=1e5+1;
struct data
{
    int x,y,z;
}a[N<<1];
int tot;
int first[N],next[N<<2],en[N<<2],w[N<<2];
int f[N],fa[N][18],mx[N][18],dep[N];
bool bz[N<<1];
inline int read()
{
    int X=0,w=1; char ch=0;
    while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9') X=(X<<3)+(X<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return X*w;
}
inline bool cmp(data x,data y)
{
    return x.z<y.z;
}
inline int max(int x,int y)
{
    return x>y?x:y;
}
inline int get(int x)
{
    if(f[x]==x) return x;
    return f[x]=get(f[x]);
}
inline void insert(int x,int y,int z)
{
    next[++tot]=first[x];
    first[x]=tot;
    en[tot]=y;
    w[tot]=z;
}
inline void dfs(int x)
{
    dep[x]=dep[fa[x][0]]+1;
    for(int i=first[x];i;i=next[i])
        if(en[i]!=fa[x][0])
        {
            fa[en[i]][0]=x;
            mx[en[i]][0]=w[i];
            dfs(en[i]);
        }
}
inline int lca(int x,int y)
{
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    int val=0;
    for(int i=log2(dep[x]);i>=0;i--)
        if(dep[fa[x][i]]>=dep[y]) val=max(val,mx[x][i]),x=fa[x][i];
    if(x==y) return val;
    for(int i=log2(dep[x]);i>=0;i--)
        if(fa[x][i]!=fa[y][i])
        {
            val=max(val,mx[x][i]);
            val=max(val,mx[y][i]);
            x=fa[x][i],y=fa[y][i];
        }
    val=max(val,mx[x][0]);
    val=max(val,mx[y][0]);
    return val;
}
int main()
{
    int T=read();
    while(T--)
    {
        int n=read(),m=read();
        long long ans=0;
        memset(bz,false,sizeof(bz));
        memset(first,tot=0,sizeof(first));
        for(int i=1;i<=m;i++) a[i].x=read(),a[i].y=read(),a[i].z=read();
        sort(a+1,a+1+m,cmp);
        for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;
        for(int i=1,k=0;i<=m;i++)
        {
            int x=a[i].x,y=a[i].y,z=a[i].z;
            int f1=get(x),f2=get(y);
            if(f1!=f2)
            {
                f[f1]=f2;
                ans+=z;
                insert(x,y,z);
                insert(y,x,z);
                bz[i]=true;
                if(++k==n-1) break;
            }
        }
        printf("%lld\n",ans);
        mx[1][0]=0;
        dfs(1);
        for(int j=1;j<18;j++)
            for(int i=1;i<=n;i++)
            {
                fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
                mx[i][j]=max(mx[fa[i][j-1]][j-1],mx[i][j-1]);
            }
        bool pd=false;
        for(int i=1;i<=m;i++)
            if(!bz[i])
                if(a[i].z==lca(a[i].x,a[i].y))
                {
                    pd=true;
                    break;
                }
        if(pd) printf("No\n"); else printf("Yes\n");
    }
    return 0;
}