【Luogu_P4495】【HAOI2018】 奇怪的背包【DP】【数学】

P4495 [HAOI2018] 奇怪的背包

题目描述

小 C 非常擅长背包问题，他有一个奇怪的背包，这个背包有一个参数 $P$ ，当他向这个背包内放入若干个物品后，背包的重量是物品总体积对 $P$ 取模后的结果。

现在小 C 有 $n$ 种体积不同的物品，第 $i$ 种占用体积为 $V_i$ ，每种物品都有无限个。他会进行 $q$ 次询问，每次询问给出重量 $w_i$ ，你需要回答有多少种放入物品的方案，能将一个初始为空的背包的重量变为 $w_i$。注意，两种方案被认为是不同的，当且仅当放入物品的种类不同，而与每种物品放入的个数无关．不难发现总的方案数为 $2^n$。

由于答案可能很大，你只需要输出答案对 $10^9+7$ 取模的结果。

输入格式

第一行三个整数 $n,q,P$，含义见问题描述。

接下来一行 $n$ 个整数表示 $V_i$。

接下来一行 $q$ 个整数表示 $w_i$。

输出格式

输出 $q$ 行，每行一个整数表示答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

3 3 6
1 3 4
5 2 3

输出 #1

5
6
6

说明/提示

HAOI2018 round1 T1

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思路：

首先发现毫无头绪，所以自己搞几个数据出来看一看。
然后发现当放入v时，可以得到gcd(v,P),gcd(v,P)*2,……
所以v可以等价为gcd(v,P)
然后又发现当放入v1,v2时，可以得到gcd(v1,v2),gcd(v1,v2)*2……
（在与P取过gcd之后）
由于取过gcd，所以现在所有v都是P的约数，所以先处理出P的所有约数存到num数组，然后统计v出现了多少次。
所以可以将问题转化为一个gcd背包问题，设$f[i][j]$表示取到P的第i个约数，已经选出的所有数的gcd为num[j]的方案数。
则：
$$f[i][j]=f[i-1][j]+(1+\sum _{gcd(num[i],num[k])=num[j]}f[i-1][k])\ast (2^{sum[i]}-1))$$
然后可以用滚动数组。
考虑如何处理询问。对于一个q，先与P取gcd，然后可以发现答案为${\sum }_{num[i]|q}f[n][i]$
所以可以预处理出所有的q，然后询问就是O(1)。

code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>

#define ll long long

using namespace std;

const ll MAXN = 1e6 + 10, MOD = 1e9 + 7;

ll n, q, P, tot;
ll f[2][MAXN], pow[MAXN], ANS[MAXN], num[MAXN], Count[MAXN];

ll gcd(ll x, ll y) {
	if(y == 0) return x;
	return gcd(y, x % y);
}

int main() {
	pow[1] = 2;
	for(ll i = 2; i < MAXN; i ++) pow[i] = pow[i - 1] * 2 % MOD;
	for(ll i = 1; i < MAXN; i ++) pow[i] = (pow[i] - 1 + MOD) % MOD;
	scanf("%lld%lld%lld", &n, &q, &P);
	for(ll i = 1; i * i <= P; i ++) 
		if(P % i == 0) {
			num[++ tot] = i;
			if(i != P / i) num[++ tot] = P / i;
		}
	sort(num + 1, num + 1 + tot);
	for(ll i = 1; i <= n; i ++) {
		ll x;
		scanf("%lld", &x);
		x = gcd(x, P);
		ll pos = lower_bound(num + 1, num + 1 + tot, x) - num;
		Count[pos] ++;
	}
	ll now = 0;
	for(ll i = 1; i <= tot; i ++)
		if(Count[i]) {
			now ^= 1;
			for(ll j = 1; j <= tot; j ++) f[now][j] = f[now ^ 1][j];
			for(ll j = 1; j <= tot; j ++)
				if(f[now ^ 1][j]) {
					ll gcd_ = gcd(num[i], num[j]);
					ll pos = lower_bound(num + 1, num + 1 + tot, gcd_) - num;
					f[now][pos] += f[now ^ 1][j] * pow[Count[i]] % MOD;
					f[now][pos] %= MOD;
				}
			f[now][i] = (f[now][i] + pow[Count[i]]) % MOD;
		}
	for(ll i = 1; i <= tot; i ++)
		for(ll j = 1; j <= i; j ++) if(num[i] % num[j] == 0) ANS[i] = (ANS[i] + f[now][j]) % MOD;
	while(q --) {
		ll x;
		scanf("%lld", &x);
		x = gcd(x, P);
		ll pos = lower_bound(num + 1, num + 1 + tot, x) - num;
		printf("%lld\n", ANS[pos]);
	}
	return 0;
}