Kmeans算法

本文详细介绍了KMeans聚类算法的流程,包括算法的步骤、K值的选择、初始质心的确定、距离度量方法、质心更新规则以及如何处理空聚类等关键问题,为数据挖掘实践提供了深入理解。

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Kmeans算法


k-means 算法接受参数 k;然后将事先输入的n个数据对象划分为 k个聚类以便使得所获得的聚类满足:同一聚类中的对象相似度较高;而不同聚类中的对象相似度较小。聚类相似度是利用各聚类中对象的均值所获得一个“中心对象”(引力中心)来进行计算的。K-means算法是最为经典的基于划分的聚类方法,是十大经典数据挖掘算法之一。
K-means算法的基本思想是:以空间中k个点为中心进行聚类,对最靠近他们的对象归类。通过迭代的方法,逐次更新各聚类中心的值,直至得到最好的聚类结果。
假设要把样本集分为c个类别,算法描述如下:
(1)适当选择c个类的初始中心;
(2)在第k次迭代中,对任意一个样本,求其到c各中心的距离,将该样本归到距离最短的中心所在的类;
(3)利用均值等方法更新该类的中心值;
(4)对于所有的c个聚类中心,如果利用(2)(3)的迭代法更新后,值保持不变,则迭代结束,否则继续迭代。
该算法的最大优势在于简洁和快速。算法的关键在于初始中心的选择和距离公式。

算法流程


首先从n个数据对象任意选择 k 个对象作为初始聚类中心;而对于所剩下其它对象,则根据它们与这些聚类中心的相似度(距离),分别将它们分配给与其最相似的(聚类中心所代表的)聚类;然后再计算每个所获新聚类的聚类中心(该聚类中所有对象的均值);不断重复这一过程直到标准测度函数开始收敛为止。一般都采用均方差作为标准测度函数. k个聚类具有以下特点:各聚类本身尽可能的紧凑,而各聚类之间尽可能的分开。

具体流程


输入:k, data[n];
(1) 选择k个初始中心点,例如c[0]=data[0],…c[k-1]=data[
### KMeans算法介绍 KMeans算法是一种经典的聚类算法,属于非监督学习方法。该算法以样本间的相似性度量为基础,通过迭代过程将数据集划分为不同的类别,使得评价聚类性能的准则函数达到最优(平均误差准则函数E)。其核心思想是将数据点分成 \( K \) 个簇,使得簇内具有较高的相似度,而簇间相似度较低[^4]。 --- ### KMeans算法原理 KMeans算法的主要目标是最小化簇内平方和(Within-Cluster Sum of Squares, WCSS),即最小化每个数据点到其所属簇中心的距离平方和。具体来说,设我们有 \( N \) 个数据点需要分为 \( K \) 个簇,则算法的目标可以表示为: \[ \arg \min_{\mu_1, \mu_2, \ldots, \mu_K} \sum_{i=1}^{N} \min_{j \in \{1, \ldots, K\}} ||x_i - \mu_j||^2 \] 其中 \( \mu_j \) 表示第 \( j \) 个簇的质心[^5]。 KMeans算法的核心步骤包括: 1. 随机选择 \( K \) 个始簇中心。 2. 将每个数据点分配到与其最近的簇中心所属的簇中。 3. 根据当前分配结果重新计算每个簇的质心。 4. 重复上述两个步骤,直到簇中心不再发生显著变化或达到最大迭代次数。 --- ### KMeans算法实现 以下是基于 Python 的 KMeans 算法实现示例: ```python import numpy as np class KMeans: def __init__(self, k=3, max_iterations=100, tolerance=1e-4): self.k = k self.max_iterations = max_iterations self.tolerance = tolerance self.centroids = None self.labels = None def fit(self, X): # 随机始化质心 self.centroids = X[np.random.choice(X.shape[0], self.k, replace=False)] for _ in range(self.max_iterations): # 分配数据点到最近的质心 distances = np.linalg.norm(X[:, np.newaxis] - self.centroids, axis=2) self.labels = np.argmin(distances, axis=1) # 更新质心 new_centroids = np.array([X[self.labels == i].mean(axis=0) for i in range(self.k)]) # 检查收敛条件 if np.all(np.abs(new_centroids - self.centroids) < self.tolerance): break self.centroids = new_centroids def predict(self, X): distances = np.linalg.norm(X[:, np.newaxis] - self.centroids, axis=2) return np.argmin(distances, axis=1) # 示例数据 X = np.array([[1, 2], [1.5, 1.8], [5, 8], [8, 8], [1, 0.6], [9, 11]]) # 创建模型并训练 model = KMeans(k=2) model.fit(X) # 输出质心和标签 print("Centroids:", model.centroids) print("Labels:", model.labels) ``` --- ### 注意事项 在实际应用中,KMeans算法需要注意以下几点: - **始化敏感性**:KMeans算法的结果很大程度上依赖于始簇中心的位置,不同的始化可能会导致完全不同的聚类结果[^2]。 - **确定合适的 \( K \) 值**:如何选择最佳簇数 \( K \) 是一个关键问题,通常可以通过肘部法则(Elbow Method)或轮廓系数(Silhouette Score)等方法进行评估[^2]。 - **处理非凸形状簇**:KMeans算法假设簇是凸的,因此对于非凸形状的簇效果较差[^2]。 - **处理噪声和异常值**:KMeans对噪声和异常值较为敏感,可能需要进行预处理或使用更鲁棒的变体[^2]。 - **高维数据处理**:当数据维度较高时,KMeans的计算复杂度会显著增加,可以考虑降维技术(如PCA)或其他优化策略[^2]。 ---
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