k近邻法

1.综述

k近邻法（k-nearest neighbor,kNN）是一种基本的分类与回归方法。接下来只叙述分类方法。kNN是一种多分类的方法，没有显示的学习过程，它是利用训练数据集对特征向量空间进行划分，作为分类的模型。
kNN描述：给定训练数据集，对于新输入的实例，在训练数据集中找到与该实例最近的$k$个实例，这$k$个实例的多数属于某类，就认为这个是实例是这个类的。
kNN的三个基本要素是：k值的选择、距离的度量、分类决策规则。

2.算法

输入：训练数据集$T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)...(x_N,y_N)\}$
其中，$x\in\mathcal X\subseteq R^n$为实例的特征向量，$y_i\in\mathcal Y=\{c_1,c_2,c_3,..,c_k\}$为实例的类别，$i=1,2,3...,N$，实例的特征向量为$x$

输出：实例$x$所属的类别
（1）根据给定的距离度量方法，在训练集$T$中找出与$x$最近的k个点，涵盖这$k$个点的$x$的邻域记作$N_k(x)$
（2）在$N_k(x)$中根据分类决策规则（一般是多数表决）决定$x$的类别$y$

$$y=\mathop{\arg\max}_{c_j} \sum_{x_i \in N_k(x)}I(y_i=c_j) , i=1,2,...,N;j=1,2...,K$$
其中，$I$为指示函数，满足条件为1，不满足为0.
当$k=1$时为最近邻算法。

3.三要素

(1)距离度量

距离是指两个实例点之间相似成度的反映。kNN模型的特征空间一般是$n$维实数的向量空间$R^n$.使用距离一般是欧式距离，或更一般的$L_p$距离（Minkowski距离，闵氏距离）。这里顺便提一下，$L_p$距离与向量的$L_p$范数是对应的，$p$表示参数，如$1,2，\infty$
当$p=1$时，称为曼哈顿距离
当$p=2$时称为欧氏距离
当$p=\infty$时，称为切比雪夫距离
使用不同的距离度量所确定的最近邻是不同的

(2)$k$的选择

$k$过小就会使得泛化效果很差，偏差小，方差大
$k$过大尽管能减小方差，但是使得偏差大
一般$k$取值比较小，采用交叉验证的方法确定最优的$k$值

(3)分类决策规则

一般采用多数表决规则，其等价于经验风险最小化

4.kd树

$kd$树是一种存储训练数据的结构，使用这种结构可以减少计算距离的次数。注意，这里的$k$表示的是实例是$k$维的，与$kNN$的$k$没有关系
$kd$树的构造以及利用$kd$树的最近邻搜索算法.

5.程序实现

利用sklearn工具包可以快速实现

# coding:utf-8

from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier # 导入knn分类器 
X = [[0], [1], [2], [3]]   #输入数据
y = [0, 0, 1, 1]           #输入每个数据对应的类别
neigh = KNeighborsClassifier(n_neighbors=3)   #生成对象
neigh.fit(X, y)                               #模型训练
print(neigh.predict([[1.1]]))                 #对于新数据的预测
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