使用位运算计算加减乘除四则运算

【题目】
不使用加减乘除运算符号实现四则运算。

【分析】

1.加法

既然不能使用运算符，那么我们只能想到使用逻辑运算，首先想到的就是《体系结构》和《数字电路》课程中学习的加法器的设计了，首先来看1位数加法是如何实现的。

我们有如下的逻辑运算表：

0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

我们发现这其实就是逻辑运算中的异或运算，然而算到这里我们仅仅是算出来没有进位的情况下的和，那么有进位的情况呢，比如1+1=10，我们不难发现如下的真值表：

0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

其实就是一个与运算，于是我们就可以用数字电路中的一个异或门和一个与门实现这个1位加法器，如下所示：

那么我们考虑在程序中如何实现这个情况呢？我们发现其实进位的话我们使其向左移位就能实现了，于是我们有对于1位加法：

int add_one(int a,int b){
	int ans = a^b;
	int carry = (a&b)<<1;
	return ans^carry;
}

那么下面我们将此情况扩展多多位数的情况，由1位数的情况我们知道第一位进位应该加到第二位上，第二位的进位加到第三位上，那么我们可以使用一个循环将所有的进位都加到和上面，类似于将上面的1位加法器串联，这其实也是加法器的实现原理，那么我们可以很自然的写出来程序：

int add(int a,int b){
	int ans = a;
	while(b){
		ans = a^b;
		b = (a&b)<<1;
		a = ans;
	}
	return ans;
}

2.减法

其实我们在《组成原理》里面已经学到，对于减法运算其实还是加法，就是等于加上除数的补码，那么我们知道补码的求法就是该数的反码加1，那么很容易的我们有了下面的代码：

int minus(int a, int b){
	int y = add(~b,1);//补码等于反码加1
	return add(a,y);
}

3.乘法

a*b就是将b个a相加，但是现在我们先考虑b为正数的情况，负数的话我们只需要判断最终的符号之后再按正数求解即可。

那么乘法就是实现b个a相加，我们可以直接利用上面的加法程序，可以实现一个比较直观的方法：

int multiply(int a, int b){
	int ans = 0;
	while(b){
		ans = add(ans,a);
		b = add(b,-1);
	}
	return ans;
}

但是我们这样做的话，对于b的计算可能会占用一点复杂度，那么我们有没有更快更简洁的实现方法呢，答案是肯定的，我们先来看下面的代码：

int multiply(int a, int b){
	int ans = 0;
	while(b){
		if( b&1){
			ans =add(ans,a);
		}
		a = a << 1;//等于将a扩大了两倍，加a等于加了2a
		b = b >> 1;//等于将b缩小了两倍
	}
	return ans;
}

上面我们其实采用的是成2倍速度增长的，如果b除以2如果还等于1，那么则可以加上上一次的a的两倍，这样的话运算次数就会比第一种方法少很多。

4.除法（求模值与余数）

其实这道题在我上学期去面百度的时候被问到过，当时完全没有思路，然后面试就悲剧了。其实这道题有两种解法，一种是二分查找，一种就是利用逻辑运算，今天只讲逻辑运算，下次再写二分查找，把二分查找的适用情况都讲一下。

好了，废话不说了，看除法是如何做的呢？
其实除法就是乘法的逆过程，乘法是不断的加，那么除法就是不断的减去除数，下面就像代码给出：

pair<int ,int> divide(int a,int b){
	int factor = 0;
	int r = 0;
	int i = 0;
	for(i = 0; i<32;i++){
		if( (a>>i) >=b )  //避免溢出
        {  
            factor = factor | (1<<i);  
            a -= (b<<i);  
        }
	}
	r = a;

	return make_pair(factor,r);
}