【LeetCode-258】Add Digits（C++）_1mod9和10mod9哪个大-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/liujiayu1015/article/details/50531598

本文介绍了一种简单而高效的算法，用于计算任意非负整数的数字根，即通过重复相加该数各位上的数字直到得到个位数。通过利用数学原理，可以避免复杂的循环操作，实现时间复杂度为O(1)的计算。

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题目要求：给出一个非负整数num，重复的将num各个位上的数字加在一起，一直得到的结果是个位数。

如：num=38，则3+8=11,1+1=2。最后得到个位数字2.

令：你可以不用循环和递归完成这道题吗？并要求其时间复杂度为O(1)

解题思路：方法1：本来我是按照最一般的方法来做的，就是将38转换为字符串，然后字符串上的各个字符转换为数字相加，加到一起之后再转换为字符串，判断字符串的字符数是不是1，如果是就结束，不是的话继续循环。

方法2：这种方法就比较简单了，这种方法是用了一个规律：任意一个整数关于9取余就等于这个整数各个位的数加在一起的数关于9取余。即：

设自然数N=a[n]a[n-1]…a[1]a[0]，其中a[0]、a[1]、…分别是N的个位，十位…上的数。再设M=a[0]+a[1]+…+a[n]。则M mod 9=N mod 9。

证明：
　　 ∵ N=a[n]a[n-1]…a[0]=a[n]*10^n+a[n-1]*10^(n-1)+…+a[1]*10+a[0].
　　又∵ 1 mod 9=1 mod 9,

10 mod 9=1 mod 9,

…

10^n mod 9 =1 mod 9.
　　上面这些等式两边分别同乘以a[0]、a[1]、a[2]、…、a[n]，再相加得：
　　　　 a[0]+a[1]*10+…+a[n]*10^n≡(a[0]+a[1]+…+a[n])(mod 9)，
　　　　即 M mod 9=N mod 9，得证。

根据上面的定理我们可知，重复的将num的各个位上的数字加在一起，不管加了多少次得到的数字关于9取余都是相等的，都等于最后得到的个位数字，即38 mod 9=11 mod 9 =2 mod 9 =2。也就说这个过程中得到的各个数是关于9同余的。所以我们只需要把num关于9取余就可以得到结果了，但是要注意当余数为0时应当返回9。

程序实现：方法1：

class Solution {
public:
	int addDigits(int num) {
		string s = num2str(num);
		int n;
		while (s.size()>1){
			n = 0;//一开始写程序的时候忘记每次循环的过后要把n置零了，导致程序超时，结果错误。
			for (int i = 0; i < s.size(); i++){
				n = n + (int) s[i] - 48;
			}
			s = num2str(n);	
		}
		return (int) s[0] - 48;
	}
	string num2str(int i){
		stringstream ss;
		ss << i;
		return ss.str();
	}
};

方法2：

class Solution {
public:
	int addDigits(int num) {
		if(num==0)
		   return 0;
		else
		   return num%9==0?9:num%9;
	}
};

当然也可以直接return 1+（num-1）%9;

总结：在方法1上面浪费了很多时间，一开始以为是string.size()返回值不是整形的所以与有符号的整形数1进行比较会出问题，所以才没办法跳出循环，但是单步执行了一下才发行是因为每次循环过后没有将n置零，这样就会在上一次循环过后的n值叠加到结果上面，所以就会出问题。不过学会了怎么调试怎么加断点怎么单步执行。方法2是上网上搜了一下才知道这个规律的，这种加的方法得到的数称为digital root 数字根。

参考：

http://www.cnblogs.com/Rinyo/archive/2012/12/20/2826755.html

http://blog.youkuaiyun.com/xudli/article/details/47786855