浅谈Logisitic Regression

浅谈Logisitic Regression

引言

这一篇呢主要是谈谈我自己对于Logisitic Regression的一些理解。这里呢，Regression虽然中文是回归的意思，但是Logisitic Regression可不是预测连续值的那个回归哦。它是主要用来分类的一种方法。（敲黑板）　这里的分类不仅仅可以进行二分类，多分类当然也是可以哒！只不过咱们进行一丢丢小的改进就ok啦！这个关于多分类的问题嘛，咱们后面再说哈，这里先以最简单的二分类为模型细细掰扯掰扯。

小tips：在学习Logisitic Regression回归之前，希望大家都已经对Linear　Regression有所了解哦。

正文
Now, let’s begin!
首先，我们来看一张图：

这是一个二维的数据集，每个样本拥有两个特征（x₁，x₂），下面我们的任务就是用Logisitic Regression将这两类样本点用类似这一条红线分类开来：

在Linear Regression中，我们预测一个连续值的方法是先提取样本的特征，如ｘ＝（x₀,x₁，x₂……x_n），ｎ属于正整数。然后训练每个特征的权重θ，使θ^T.x＝ｙ，ｙ即为预测的连续值结果。然而，这个连续的结果并不能直接用于分类，而我们的分类也必须用到数据集的各个特征，使之能够表征到分类模型中，那么怎么办呢？我们现在引入一个函数名为sigmoid函数：

$$g(z) = \frac{1}{1+ e^{-z}}$$

这个函数来源于一种分布名为逻辑斯谛分布（logisitic　distribution）。关于这方面的知识，请参阅李航老师的《统计学习方法》，这里就不再深入讨论了。
$g(z)$的函数图象如下：

该函数为单调递增函数，定义域为整个实数集，值域为(0,1) 横轴越大，越趋近于１，相反，越趋近于０。
看到这儿的时候有没有猛然想起《信号与系统》里的单位跃迁函数呀？（恩，你很机智^-^）

sigmoid函数中的z，其实就是我们用类似于Linear Regression中的$y=θ^Tx$（只是形式相同啊喂），我们将其代入到$g(z)$中就得到了：

$$h_{θ}(x)=g(θ^Tx)=\frac{1}{1+e^{-θ^Tx}}$$

不难看出，输出的结果$ｈ$是个属于(0,1)的数。我们假设分类标签为｛０,１｝，输出的标签为$ｙ$，若$h$>0.5　则令$y$=1，即为正例；相反，若$h$<0.5　则令$y$=0，即$y$为反例。 如下图所示　这样我们就可以对上面那个样本集点的图进行分类啦！

下面一个比较关键的问题就是如何让这个model的分类效果最好呢？
这个问题里包含了两个方面：１.如何选取各个特征$x_i$的权重θ　　２.如何定义这个model的目标函数？
其实这两个问题是可以统一到一起的，我们先定义目标函数，然后利用最优化算法求解其权重参数θ。
在一般模型中，会采用MSE（最小误差平方和的准则函数）来作为目标函数，若我们在Logisitic Regression中采用如下目标函数$J(θ)$：

$$Cost(h_{θ}(x^{(i)}),y^{(i)})=\frac{1}{2}(h_{θ}(x^{i})-y^{(i)})^2$$
Stanford的Andrew Ng老师说，这是一个关于θ的非凸函数，我们可能会得到如下图像：

所以，MSE就明显不适用于Logisitic Regression了。那我们怎么办呢？我们需要求得权重θ，那么也就是说我们需要估计θ，使θ最接近于实际值对吧？既然我们现在已经有了样本集了，那么……对！这不就是可以利用极大似然估计吗！下面的式子我们就信手拈来啦！
在这里假设类别标签为｛０,１｝，那么

$$P(y=1|x;θ)=h_{θ}(x)$$ $$P(y=0|x;θ)=1-h_{θ}(x)$$
这个分段函数我们可以整合成一个式子： $$p(y|x;θ)=(h_{θ}(x))^y(1-(h_{θ}(x))^{1-y}$$
Obviously，对于一个样本集，可以得到其似然函数$L(θ)$:
$$L(θ)=p(\vec y|X;θ)$$ $$=\prod_{i=1}^{m}p(y^{(i)}|x^{(i)};θ)$$ $$=\prod_{i=1}^{m}(h_θ(x^{(i)}))^{y^{(i)}}(1-h_θ(x^{(i)}))^{1-y^{(i)}}$$
将其转化为对数形式： $$l(θ)=logL(θ)=\sum_{i=1}^{m}y^{(i)}logh_θ(x^{(i)})+(1-y^{(i)})log(1-h_θ(x^{(i)}))$$
接下来我们求得这个对数似然函数的偏导，就可以为后面的最优化算法做铺垫啦！ $$\frac {\partial l(θ)}{\partial(θ_j)}=\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}-g(θ^Tx^{(i)}))\cdot x_j^{(i)}$$
有了这些条件之后，梯度上升算法已经饥渴难耐啦！(梯度上升算法可以求得$l(θ)$的最大值，属于最优化算法中一种常用的方法。在Andrew Ng老师视频中，他将目标函数$J(θ)$前加了”-“，使最小化目标函数，对应的，采用的应是梯度下降法。其实两者原理一样，只不过训练参数时一个是“+”，一个是“-”。关于梯度下降或者上升算法，希望不了解的同学看一下最优化方法方面的书籍哦，都会有介绍的。)
我们下面利用梯度上升算法开始训练权重参数θ：

Repeat until convergence{

$$θ_j:θ_j+\alpha\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}-h_θ(x^{(i)}))x_j^{(i)}$$
}

这样，Logisitic Regression中的参数θ就训练出来啦！
但是注意！如果数据量很大的情况下，这种梯度算法就出问题了。因为每次更新都要遍历数据集，计算复杂度很高。所以每次用一个样本点更新权重的“随机梯度上升法”就更适用于数据量大的场景下。

随机梯度上升算法伪代码：
　　　所有回归系数初始化为１
　　　对数据集中每个样本
　　　　　　　　计算该样本的梯度
　　　　　　　　使用$alpha×gradient$更新回归系数值
　　　返回回归系数值

但是再注意！等迭代次数多了以后会发现，回归系数会在一个稳定的数值上下震荡。这不难理解，产生这种现象的原因是存在一些不能正确分类的样本点（数据集并非线性可分），在每次迭代时会引发系数的剧烈改变。于是，我们再一次改进，使步长alpha随着迭代次数的增多变得越来越小，这样有利于回归系数值收敛，使收敛速度加快。

关于Logisitic Regression就先简单讲到这里啦，等后面其他的模型与之有联系的话，会再补充。如有错误和不正之处，恳请指正!