树状图是一种数据结构，它是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
- 每个结点有零个或多个子结点；
- 没有前驱的结点称为根结点；
- 每一个非根结点有且只有一个父结点；
- 除了根结点外，每个子结点可以分为m个不相交的子树；
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术语
- 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
- 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
- 叶节点或终端节点：度为零的节点；
- 非终端节点或分支节点：度不为零的节点；
- 双亲节点或父节点：若一个结点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
- 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
- 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
- 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
- 树的高度或深度：树中节点的最大层次；
- 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；
- 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
- 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
- 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；
树的种类
- 无序树：树中任意节点的子结点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树；
- 有序树：树中任意节点的子结点之间有顺序关系，这种树称为有序树；
存储结构
/* 树的双亲表存储表示 */ #define MAX_TREE_SIZE 100 typedef struct { TElemType data; int parent; /* 双亲位置域 */ } PTNode; typedef struct { PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE]; int n; /* 结点数 */ } PTree; |  |
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基本操作
设已有链队列类型LinkQueue的定义及基本操作（参见队列）。
构造空树
清空或销毁一个树也是同样的操作
void ClearTree(PTree *T) { T->n = 0; }
构造树
void CreateTree(PTree *T)
{ LinkQueue q; QElemType p,qq; int i=1,j,l; char c[MAX_TREE_SIZE]; /* 临时存放孩子结点数组 */ InitQueue(&q); /* 初始化队列 */ printf("请输入根结点(字符型，空格为空): "); scanf("%c%*c",&T->nodes[0].data); /* 根结点序号为0，%*c吃掉回车符 */ if(T->nodes[0].data!=Nil) /* 非空树 */ { T->nodes[0].parent=-1; /* 根结点无双亲 */ qq.name=T->nodes[0].data; qq.num=0; EnQueue(&q,qq); /* 入队此结点 */ while(i<MAX_TREE_SIZE&&!QueueEmpty(q)) /* 数组未满且队不空 */ { DeQueue(&q,&qq); /* 出队一个结点 */ printf("请按长幼顺序输入结点%c的所有孩子: ",qq.name); gets(c); l=strlen(c); for(j=0;j<l;j++) { T->nodes[i].data=c[j]; T->nodes[i].parent=qq.num; p.name=c[j]; p.num=i; EnQueue(&q,p); /* 入队此结点 */ i++; } } if(i>MAX_TREE_SIZE) { printf("结点数超过数组容量\n"); exit(OVERFLOW); } T->n=i; } else T->n=0; } ===== 判断树是否为空 ===== <source lang="c"> Status TreeEmpty(PTree *T) { /* 初始条件：树T存在。操作结果：若T为空树，则返回TRUE，否则返回FALSE */ return T->n==0; }
获取树的深度
int TreeDepth(PTree *T)
{ /* 初始条件：树T存在。操作结果：返回T的深度 */ int k,m,def,max=0; for(k=0;k<T->n;++k) { def=1; /* 初始化本结点的深度 */ m=T->nodes[k].parent; while(m!=-1) { m=T->nodes[m].parent; def++; } if(max<def) max=def; } return max; /* 最大深度 */ }
获取根结点
TElemType Root(PTree *T) { /* 初始条件：树T存在。操作结果：返回T的根 */ int i; for(i=0;i<T->n;i++) if(T->nodes[i].parent<0) return T->nodes[i].data; return Nil; }
获取第i个结点的值
TElemType Value(PTree *T,int i) { /* 初始条件：树T存在，i是树T中结点的序号。操作结果：返回第i个结点的值 */ if(i<T->n) return T->nodes[i].data; else return Nil; }
改变结点的值
Status Assign(PTree *T,TElemType cur_e,TElemType value) { /* 初始条件：树T存在，cur_e是树T中结点的值。操作结果：改cur_e为value */ int j; for(j=0;j<T->n;j++) { if(T->nodes[j].data==cur_e) { T->nodes[j].data=value; return OK; } } return ERROR; }
获取结点的双亲结点
TElemType Parent(PTree *T,TElemType cur_e) { /* 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个结点 */ /* 操作结果：若cur_e是T的非根结点，则返回它的双亲，否则函数值为＂空＂*/ int j; for(j=1;j<T->n;j++) /* 根结点序号为0 */ if(T->nodes[j].data==cur_e) return T->nodes[T->nodes[j].parent].data; return Nil; }
获取结点的最左孩子结点
TElemType LeftChild(PTree *T,TElemType cur_e) { /* 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个结点 */ /* 操作结果：若cur_e是T的非叶子结点，则返回它的最左孩子，否则返回＂空＂*/ int i,j; for(i=0;i<T->n;i++) if(T->nodes[i].data==cur_e) /* 找到cur_e，其序号为i */ break; for(j=i+1;j<T->n;j++) /* 根据树的构造函数，孩子的序号＞其双亲的序号 */ if(T->nodes[j].parent==i) /* 根据树的构造函数，最左孩子(长子)的序号＜其它孩子的序号 */ return T->nodes[j].data; return Nil; }
获取结点的右兄弟结点
TElemType RightSibling(PTree *T,TElemType cur_e) { /* 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个结点 */ /* 操作结果：若cur_e有右(下一个)兄弟，则返回它的右兄弟，否则返回＂空＂*/ int i; for(i=0;i<T->n;i++) if(T->nodes[i].data==cur_e) /* 找到cur_e，其序号为i */ break; if(T->nodes[i+1].parent==T->nodes[i].parent) /* 根据树的构造函数，若cur_e有右兄弟的话则右兄弟紧接其后 */ return T->nodes[i+1].data; return Nil; }
输出树
void Print(PTree *T) { /* 输出树T。加 */ int i; printf("结点个数=%d\n",T->n); printf(" 结点 双亲\n"); for(i=0;i<T->n;i++) { printf(" %c",Value(T,i)); /* 结点 */ if(T->nodes[i].parent>=0) /* 有双亲 */ printf(" %c",Value(T,T->nodes[i].parent)); /* 双亲 */ printf("\n"); } }
向树中插入另一棵树
Status InsertChild(PTree *T,TElemType p,int i,PTree c) { /* 初始条件：树T存在，p是T中某个结点，1≤i≤p所指结点的度+1，非空树c与T不相交 */ /* 操作结果：插入c为T中p结点的第i棵子树 */ int j,k,l,f=1,n=0; /* 设交换标志f的初值为1，p的孩子数n的初值为0 */ PTNode t; if(!TreeEmpty(T)) /* T不空 */ { for(j=0;j<T->n;j++) /* 在T中找p的序号 */ if(T->nodes[j].data==p) /* p的序号为j */ break; l=j+1; /* 如果c是p的第1棵子树，则插在j+1处 */ if(i>1) /* c不是p的第1棵子树 */ { for(k=j+1;k<T->n;k++) /* 从j+1开始找p的前i-1个孩子 */ if(T->nodes[k].parent==j) /* 当前结点是p的孩子 */ { n++; /* 孩子数加1 */ if(n==i-1) /* 找到p的第i-1个孩子，其序号为k1 */ break; } l=k+1; /* c插在k+1处 */ } /* p的序号为j，c插在l处 */ if(l<T->n) /* 插入点l不在最后 */ for(k=T->n-1;k>=l;k--) /* 依次将序号l以后的结点向后移c.n个位置 */ { T->nodes[k+c.n]=T->nodes[k]; if(T->nodes[k].parent>=l) T->nodes[k+c.n].parent+=c.n; } for(k=0;k<c.n;k++) { T->nodes[l+k].data=c.nodes[k].data; /* 依次将树c的所有结点插于此处 */ T->nodes[l+k].parent=c.nodes[k].parent+l; } T->nodes[l].parent=j; /* 树c的根结点的双亲为p */ T->n+=c.n; /* 树T的结点数加c.n个 */ while(f) { /* 从插入点之后，将结点仍按层序排列 */ f=0; /* 交换标志置0 */ for(j=l;j<T->n-1;j++) if(T->nodes[j].parent>T->nodes[j+1].parent) {/* 如果结点j的双亲排在结点j+1的双亲之后（树没有按层序排列），交换两结点*/ t=T->nodes[j]; T->nodes[j]=T->nodes[j+1]; T->nodes[j+1]=t; f=1; /* 交换标志置1 */ for(k=j;k<T->n;k++) /* 改变双亲序号 */ if(T->nodes[k].parent==j) T->nodes[k].parent++; /* 双亲序号改为j+1 */ else if(T->nodes[k].parent==j+1) T->nodes[k].parent--; /* 双亲序号改为j */ } } return OK; } else /* 树T不存在 */ return ERROR; }
删除子树
Status deleted[MAX_TREE_SIZE+1]; /* 删除标志数组(全局量) */ void DeleteChild(PTree *T,TElemType p,int i) { /* 初始条件：树T存在，p是T中某个结点，1≤i≤p所指结点的度 */ /* 操作结果：删除T中结点p的第i棵子树 */ int j,k,n=0; LinkQueue q; QElemType pq,qq; for(j=0;j<=T->n;j++) deleted[j]=0; /* 置初值为0(不删除标记) */ pq.name='a'; /* 此成员不用 */ InitQueue(&q); /* 初始化队列 */ for(j=0;j<T->n;j++) if(T->nodes[j].data==p) break; /* j为结点p的序号 */ for(k=j+1;k<T->n;k++) { if(T->nodes[k].parent==j) n++; if(n==i) break; /* k为p的第i棵子树结点的序号 */ } if(k<T->n) /* p的第i棵子树结点存在 */ { n=0; pq.num=k; deleted[k]=1; /* 置删除标记 */ n++; EnQueue(&q,pq); while(!QueueEmpty(q)) { DeQueue(&q,&qq); for(j=qq.num+1;j<T->n;j++) if(T->nodes[j].parent==qq.num) { pq.num=j; deleted[j]=1; /* 置删除标记 */ n++; EnQueue(&q,pq); } } for(j=0;j<T->n;j++) if(deleted[j]==1) { for(k=j+1;k<=T->n;k++) { deleted[k-1]=deleted[k]; T->nodes[k-1]=T->nodes[k]; if(T->nodes[k].parent>j) T->nodes[k-1].parent--; } j--; } T->n-=n; /* n为待删除结点数 */ } }
层序遍历树
void TraverseTree(PTree *T,void(*Visit)(TElemType)) { /* 初始条件：二叉树T存在,Visit是对结点操作的应用函数 */ /* 操作结果：层序遍历树T,对每个结点调用函数Visit一次且仅一次 */ int i; for(i=0;i<T->n;i++) Visit(T->nodes[i].data); printf("\n"); }
孩子链表表示法
存储结构
/*树的孩子链表存储表示*/ typedef struct CTNode { // 孩子结点 int child; struct CTNode *next; } *ChildPtr; typedef struct { ElemType data； // 结点的数据元素 ChildPtr firstchild； // 孩子链表头指针 } CTBox; typedef struct { CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]； int n, r； // 结点数和根结点的位置 } CTree;
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