算法导论课后题 2.3-7答案

题目：请给出一个运行时间为O ( n lg n ) 的算法，使之能在给定一个由n个整数构成的集合S和另一个整数x时，判断出S中是否存在有两个其和等于x的元素。

解决该问题的算法如下：

1.对S中的元素进行排序（需要运行时间为O ( n lg n ) 的算法）；

2.构造一个集合S'={{ z : z = x − y }.(其中x我们要判断的元素，y为S中的所有元素）；

3.对S'中的元素进行排序（需要运行时间为O ( n lg n ) 的算法）；

4.如果S中存在多次出现的同一元素，那么删除重复出现的元素（只保留一个），对S'做同样的处理；

5.合并S与S'（需要的是有序的合并）；

6.如果合并后的数组中连续出现两个相同的元素，那么S中存在两个其和等于x的元素；

         为了证明步骤4中的要求是合法的，首先我们看到如果在合并后的数组的输出中如果有任何出现了两次的元素，那么它必须是连续出现的。假设某个值w出现了两次，那么w一次在s中出现，一次在s'中出现。因为w在s'中出现，那么在s中一定存在一个y，使得w=x-y，或者x=w+y，由于w是s中的元素，因此w和y就是s中符合条件的两个元素。反过来，假设s中存在w+y=x，那么x-y=w，即w一定在s'中，因此w既是s也是s'中的元素，因此他会在合并后的数组中出现两次。

       步骤1和步骤3需要O ( n lg n ) 步，步骤2、4、5和6需要O ( n )步，因此中的运行时间为O ( n lg n )。

代码见附件。