【白板推导系列笔记】数学基础-概率-高斯分布-求边缘概率以及条件概率

最新推荐文章于 2022-10-05 09:27:00 发布

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$\begin{gathered} X \sim N(\mu,\Sigma)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{p}{2}}|\Sigma|^{\frac{1}{2}}}\text{exp}\left(- \frac{1}{2}(x-\mu)^{T}\Sigma^{-1}(x-\mu)\right)\\ x \in \mathbb{R}^{p},r.v.\\ \end{gathered}$
已知
$\begin{gathered} x=\begin{pmatrix} x_{a} \\ x_{b} \end{pmatrix},\mu=\begin{pmatrix} \mu_{a} \\ \mu_{b} \end{pmatrix},\Sigma=\begin{pmatrix} \Sigma_{aa} & \Sigma_{ab} \\ \Sigma_{ba} & \Sigma_{bb} \end{pmatrix}\\ x_{a}为m \times 1,x_{b}为 n \times 1,m+n=p \end{gathered}$
求 $P(x_{a}),P(x_{b}|x_{a})$ ，求得后可以由对称性得到 $P(x_{b}),P(x_{a}|x_{b})$

定理：
已知
$\sim N(\mu,\Sigma),x \in \mathbb{R}^{p},y=Ax+B,y \in \mathbb{R}^{p}$
则有
$\sim N(A \mu+B,A \Sigma A^{T})$

先求 $x_{a}$ 的分布
$\begin{aligned} x_{a}&=\underbrace{\begin{pmatrix}I_{m} & O_{n}\end{pmatrix}}_{A}\underbrace{\begin{pmatrix} x_{a} \\ x_{b} \end{pmatrix}}_{x}\\ E(x_{a})&=\begin{pmatrix}I_{m} & O\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mu_{a} \\ \mu_{b} \end{pmatrix}=\mu_{a}\\ \text{Var}(x_{a})&=\begin{pmatrix} I_{m} & O \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \Sigma_{aa} & \Sigma_{ab} \\ \Sigma_{ba} & \Sigma_{bb} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_{m} \\ O \end{pmatrix}=\Sigma_{aa} \end{aligned}$