【高等数学】曲线积分和曲面积分2

本文还有第一部分，包含对弧长的曲线积分、对坐标的曲线积分、格林公式及其应用

对面积的曲面积分

一、对面积的曲面积分的定义

设曲面$\sum$是光滑的，函数$f(x,y,z)$在$\sum$上有界，把$\sum$任意分成n小块$\Delta S_i$（$\Delta S_i$同时代表第$i$小块曲面的面积），设$({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$是$\Delta S_i$上任意取定的一点，做乘积$f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta S_i(i=1,2,3,\cdots ,n)$，并作和${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta S_i$，如果当各小块曲面的直径的最大值$\lambda \to 0$时，这和的极限总存在，且与曲面$\sum$的分发及点$({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$的取法无关，那么称此极限为函数$f(x,y,z)$在曲面$\sum$上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作$\underset{\sum }{\iint }f(x,y,z)dS$，即$\underset{\sum }{\iint }f(x,y,z)dS={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta S_i$，其中$f(x,y,z)$叫做被积函数，$\sum$叫做积分曲面

二、对面积的曲面积分的几何意义

密度不均匀的曲面的质量

三、对面积的曲面积分的性质

性质1（线性）：若$\alpha ,\beta$为常数，则$\underset{\sum }{\iint }[\alpha f(x,y,z)+\beta g(x,y,z)]dS=\alpha \underset{\sum }{\iint }f(x,y,z)dS+\beta \underset{\sum }{\iint }g(x,y,z)dS$

性质2（曲面可加）：若积分曲面$\sum$可分为两个光滑的曲面${\sum }_1,{\sum }_2$，则$\underset{\sum }{\iint }f(x,y,z)dS=\underset{{\sum }_1}{\iint }f(x,y,z)dS+\underset{{\sum }_2}{\iint }f(x,y,z)dS$

性质3（比较定理）：设在$\sum$上$f(x,y,z)\le g(x,y,z)$，则$\underset{\sum }{\iint }f(x,y,z)dS\le \underset{\sum }{\iint }g(x,y,z)dS$，特别的，有$|\underset{\sum }{\iint }f(x,y,z)dS|\le \underset{\sum }{\iint }|f(x,y,z)|dS$

四、对面积的曲面积分的计算方法

• 设$\sum :z=z(x,y),(x,y)\in D$
  则$\underset{\sum }{\iint }f(x,y,z)dS=\underset{D}{\iint }f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^{{}^{\prime }2}+z_y^{{}^{\prime }2}}d\sigma$
• 设$\sum :y=y(x,z),(x,z)\in D$
  则$\underset{\sum }{\iint }f(x,y,z)dS=\underset{D}{\iint }f(x,y(x,z),z)\sqrt{1+y_x^{{}^{\prime }2}+y_z^{{}^{\prime }2}}d\sigma$
• 设$\sum :x=x(y,z),(y,z)\in D$
  则$\underset{\sum }{\iint }f(x,y,z)dS=\underset{D}{\iint }f(x(y,z),y,z)\sqrt{1+x_y^{{}^{\prime }2}+x_z^{{}^{\prime }2}}d\sigma$

例1：计算$\underset{\sum }{\iint }xyzdS$，其中$\sum$是由平面$x=0,y=0,z=0$及$x+y+z=1$所围成的四面体的整个边界曲面
设四面体在$xOy$上的面${\sum }_2:z=0$，在$xOz$上的面${\sum }_1:y=0$，在$yOz$上的面${\sum }_3:x=0$，剩下的一个面设在$xOy$的投影为${\sum }_4$
$\begin{array}{rl}\underset{\sum }{\iint }& =\underset{{\sum }_1}{\iint }+\underset{{\sum }_2}{\iint }+\underset{{\sum }_3}{\iint }+\underset{{\sum }_4}{\iint }\\ & =0+0+0+\underset{{\sum }_4}{\iint }xyzdS\\ & =\underset{D_{xy}}{\iint }xy(1-x-y)\sqrt{1+z_x^{{}^{\prime }2}+z_y^{{}^{\prime }2}}dxdy\\ & =\sqrt{3}{\int }_0^{1}dx{\int }_0^{1-x}xy(1-x-y)dy\\ & =\frac{\sqrt{3}}{120}\end{array}$

对坐标的曲面积分

一、对坐标的曲面积分的定义

设$\sum$为光滑的有向曲面，函数$R(x,y,z)$在$\sum$上有界，把$\sum$任意分成$n$块小曲面$\Delta S_i$（$\Delta S_i$同时又表示第i块小曲面的面积），$\Delta S_i$在$xOy$面上的投影为$(\Delta S_i{)}_{xy}$，$({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$是$\Delta S_i$上任意取定的一点，作乘积$R({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)(\Delta S_i)(i=1,2,3,\cdots ,n)$，并作和${\sum }_{i=1}^{n}R({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)(\Delta S_i{)}_{xy}$，如果当各小块曲面的直径的最大值$\lambda \to 0$时，这和的极限总存在，且与曲面$\sum$的分发及点$({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$的取法，无关，那么称此极限为函数$R(x,y,z)$在有向曲面$\sum$对坐标$x,y$的曲面积分，记作$\underset{\sum }{\iint }R(x,y,z)dxdy$，即$\underset{\sum }{\iint }R(x,y,z)dxdy={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^n({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)(\Delta S_i{)}_{xy}$，其中R$(x,y,z)叫$做被积函数，$\sum$叫做积分曲面
类似地可以定义函数$P(x,y,z)$在有向曲面$\sum$上对坐标$y,z$的曲面积分$\underset{\sum }{\iint }P(x,y,z)dydz$，即为$\underset{\sum }{\iint }P(x,y,z)dydz={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}P({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)(\Delta S_i{)}_{xy}$；
定义函数$P(x,y,z)$在有向曲面$\sum$上对坐标$z,x$的曲面积分$\underset{\sum }{\iint }P(x,y,z)dzdx$，即为$\underset{\sum }{\iint }P(x,y,z)dzdx={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}P({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)(\Delta S_i{)}_{zx}$

二、对坐标的曲面积分的几何意义

流向曲面一侧的流量

三、对坐标的曲面积分的性质

性质1（线性）：设$\alpha$与$\beta$为常数，则$\underset{\sum }{\iint }[\alpha (P_{1}dydz+Q_{1}dzdx+P_{1}dxdy)+\beta (P_{2}dydz+Q_{2}dzdx+P_{2}dxdy)]=\alpha \underset{\sum }{\iint }{P}_{1}dydz+Q_{1}dzdx+P_{1}dxdy+\beta \underset{\sum }{\iint }{P}_{2}dydz+Q_{2}dzdx+P_{2}dxdy$

性质2（曲面可加）：若有向曲面$\sum$可分为两段光滑的有向曲面${\sum }_1$和${\sum }_2$，则$\underset{\sum }{\iint }Pdydz+Qdzdx+Pdxdy=\underset{{\sum }_1}{\iint }Pdydz+Qdzdx+Pdxdy+\underset{{\sum }_2}{\iint }Pdydz+Qdzdx+Pdxdy$

性质3（方向性）：设$\sum$是有向曲面，${\sum }^{-}$表示$\sum$取反侧的有向曲面，则$\underset{{\sum }^{-}}{\iint }P(x,y,z)dydz=-\underset{\sum }{\iint }P(x,y,z)dydz$
$\underset{{\sum }^{-}}{\iint }P(x,y,z)dzdx=-\underset{\sum }{\iint }P(x,y,z)dzdx$
$\underset{{\sum }^{-}}{\iint }P(x,y,z)dxdy=-\underset{\sum }{\iint }P(x,y,z)dxdy$

四、对坐标的曲面积分的计算方法

设$\sum :z=z(x,y),(x,y)\in D$，则$\underset{\sum }{\iint }R(x,y,z)dxdy=\pm \underset{D}{\iint }R[x,y,z(x,y)]dxdy$
设$\sum :y=y(z,x),(z,x)\in D$，则$\underset{\sum }{\iint }R(x,y,z)dzdx=\pm \underset{D}{\iint }R[x,y(z,x),z]dzdx$
设$\sum :x=x(y,z),(y,z)\in D$，则$\underset{\sum }{\iint }R(x,y,z)dydz=\pm \underset{D}{\iint }R[x(y,z),y,z]dydz$
正负号由面的法向量与对应轴正方向的夹角决定，锐角取正，钝角取负

例1：计算曲面积分$\underset{\sum }{\iint }xyzdxdy$，其中$\sum$是球面$x^2+y^2+z^2=1$外侧，在$x\ge 0,y\ge 0$的部分
${\sum }_1:z=-\sqrt{1-x^2-y^2}$
${\sum }_2:z=\sqrt{1-x^2-y^2}$
$\begin{array}{rl}\underset{\sum }{\iint }& =\underset{{\sum }_1}{\iint }+\underset{{\sum }_2}{\iint }\\ & =-\underset{D_{xy}}{\iint }xy[-\sqrt{1-x^2-y^2}]dxdy+\underset{D_{xy}}{\iint }xy\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy\\ & =2\underset{D_{xy}}{\iint }xy\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy\\ & =2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}d\theta {\int }_0^1{r}^2\sin \theta \cos \theta \sqrt{1-r^2}\cdot rdr\\ & =\frac{2}{15}\end{array}$

高斯公式与散度、旋度

一、高斯公式的定义

设空间闭区域$\Omega$是由分片光滑的比曲面$\sum$所围成，若函数$P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$在$\Omega$上具有一阶连续偏导数，则有$\underset{\sum }{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\underset{\Omega }{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv$，或$\underset{\sum }{\iint }(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS=\underset{\Omega }{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv$
（$\cos \alpha dS=dydz,\cos \beta dS=dzdx,\cos \gamma dS=dxdy$）
对于$\underset{\Omega }{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv$也有正负号，取面外侧为正，内侧为负

例1：利用高斯公式计算曲面积分$\underset{\sum }{\iint }(x-y)dxdy+(y-z)xdydz$，其中$\sum$为柱面$x^2+y^2=1$及平面$z=0,z=3$所围成的空间闭区域$\Omega$的整个边界曲面的外侧
$\begin{array}{rl}\underset{\sum }{\iint }(x-y)dxdy+(y-z)xdydz& =+\underset{\Omega }{\iiint }[(y-z)+0+0]d\theta \\ & ={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{1}rdr{\int }_0^3(r\sin \theta -z)dz\\ & =-\frac{9}{2}\pi \end{array}$

二、散度的定义

设有向量场$\mathbf{A}(x,y,z)=P,Q,R$，其中$P$、$Q$、$R$均具有一阶连续偏导数，则$div\mathbf{A}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$

例2：求向量场$\mathbf{A}=y^2\mathbf{i}+xy\mathbf{j}+xz\mathbf{k}$的散度
$P=y^2,Q=xy,R=xz$
$div\mathbf{A}=0+x+x=2x$

三、旋度的定义

设有向量场$\mathbf{A}(x,y,z)=P,Q,R$，其中$P$、$Q$、$R$均具有一阶连续偏导数，则$\mathbf{rotA}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|$

例3：求向量场$\mathbf{A}=(z+\sin y)\mathbf{i}-(z-x\cos y)\mathbf{j}$
$\begin{array}{rl}\mathbf{rotA}& =\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ (z+\sin y)& -(z-x\cos y)& 0\end{array}\right|\\ & =(-1{)}^{1+1}\mathbf{i}(0+1)+(-1{)}^{1+2}\mathbf{j}(0-1)+(-1{)}^{1+3}\mathbf{k}(\cos y-\cos y)\\ & =\mathbf{i}+\mathbf{j}\end{array}$