开灯问题

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#算法

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本文探讨了在一个包含n个灯泡的场景中，经过k个人依次操作后，哪些灯泡仍处于开启状态。提供了两种实现方法：一种是使用取余运算判断灯泡序号是否为人的序号的倍数；另一种则采用加法进行优化，有效提升了运行效率。

问题：

有n盏灯，编号为1~n。第1个人把灯都打开，第2个人按下所有编号为2的倍数的灯的开关，第3个人按下所有编号为3的倍数的灯的开关。一共有k个人，问最后有哪些灯开着？(k<=n<=1000)

方法1（书上方法）
1. 首先确定灯和人的数量，并声明一个布尔变量代表灯的开关状态。
2. 嵌套循环，外循环为人的序号。内循环为灯的序号。
3. 人和灯都从1开始增加，先确定人的序数，再不断增加灯的序号，并判断灯的序号是否是人的序号的倍数，如果是，那么灯泡开关状态改变。
大致代码如下

int a=1000;
    int b=800;
    boolean []c=new boolean[a];
    for(int i=1;i<=b;i++){
    for(int j=1;j<=a;j++){
        if(j%i==0){
            c[j-1]=!c[j-1];
        }
    }
    }
    for(int i=0;i<c.length;i++){
        if(c[i]){
            System.out.println(i+1);
        }
    }

第二种方法

第二种方法不是通过取余判断是否是倍数而是通过加法，因为计算机计算除法要比加法复杂的多，所以用加法会快很多，亲测近30倍差距。
代码如下

long start=System.currentTimeMillis();
    int light=1000;
    int k=800;
    boolean []Light=new boolean [light];
    for(int j=1;j<=k;j++)
        for(int m=j;m<=light;m+=j){
            Light[m-1]=!Light[m-1];
        }
    }
    for(int i=0;i<Light.length;i++){
        if(Light[i]){
            System.out.println(i+1);
        }
    }