【POJ1743】Musical Theme & SA的模板和学习笔记

原创于 2018-04-30 21:14:02 发布 · 227 阅读

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本文介绍了一种利用后缀数组和最长公共前缀（LCP）解决问题的方法，通过差分和二分查找技术确定两个不相交区间内的最长相同子串长度。

题意

可以修改一段区间的值求两端不相交区间相同的最长长度。

思路

可以修改值的话直接差分解决
求最长长度可以二分一个答案k，然后将height小于k的挖掉。产生多个区间找到区间，那么区间内的LCP都符合要求，区间与区间不符合，因为两个后缀的LCP等于对应rank之间height的最小值。
怎么保证不相交呢？
找到区间内最大和最小的SA 判断Max-Min是否大于k 不能等于因为是差分数组如果等于k的话会重复。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn=40000+5;
int n,a[maxn],b[maxn];
int r[maxn],y[maxn],sa[maxn],rank[maxn],height[maxn],c[maxn];
//r表示排名 y表示第二关键字排序 sa为后缀数组 rank表示第i个后缀的排名 height表示排i的后缀和前一个的最大公共前缀 
int pos[maxn];
void getsa(int *r,int *y,int m,int n)
{
    for(int i=0; i<=m; i++) c[i]=0;//初始化桶 
    for(int i=1; i<=n; i++) c[r[i]=a[i]]++;//压入同中，记录初始r 
    for(int i=1; i<=m; i++) c[i]+=c[i-1];//记录比i小的有多少 
    for(int i=n; i>=1; i--) sa[c[r[i]]--]=i;//初始化sa，可能有一样的 
    for(int len=1; len<=n; len<<=1)
    {
        int p=0;
        for(int i=n; i>=n-len+1; i--) y[++p]=i;//最后的几个长度不够有第二关键字，所以第二关键字最小 
        for(int i=1; i<=n; i++) if(sa[i]>len) y[++p]=sa[i]-len;//因为之前一次已经排好了一遍，所以直接按顺序找第二关键字对应的第一关键字 
        for(int i=0; i<=m; i++) c[i]=0;//初始化 
        for(int i=1; i<=n; i++) c[r[y[i]]]++;//将第一关键字压入桶中 
        for(int i=1; i<=m; i++) c[i]+=c[i-1];//同开始 
        for(int i=n; i>=1; i--) sa[c[r[y[i]]]--]=y[i];//算sa 
        swap(r,y);
        p=2; r[sa[1]]=1;//重新求排名第一关键字 
        for(int i=2; i<=n; i++)
        {
            if(y[sa[i]]==y[sa[i-1]] && y[sa[i]+len]==y[sa[i-1]+len]) r[sa[i]]=p-1;
            else r[sa[i]]=p++;
        }
        if(p>n) return;//所有的n个都有对应的sa了 不重复，完成。 
        m=p;
    }
}
void getheight()
{
    for(int i=1; i<=n; i++) rank[sa[i]]=i;
    for(int i=1,k=0; i<=n; i++)
    {
        if(k>0) k--;
        int t=sa[rank[i]-1];
        while(a[i+k]==a[t+k]) k++;
        height[rank[i]]=k;
    }
}
void init()
{
    memset(sa,0,sizeof(sa));
    memset(height,0,sizeof(height));
    memset(b,0,sizeof(b));
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(r,0,sizeof(r));
    memset(y,0,sizeof(y));
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        scanf("%d",&b[i]); a[i]=b[i]-b[i-1];
    }
    for(int i=1; i<=n; i++) a[i]+=88;
}
bool can(int x)
{
    pos[0]=0;
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        if(height[i]<x) pos[++pos[0]]=i;
    }
    if(pos[pos[0]]<n) pos[++pos[0]]=n+1;
    for(int i=2; i<=pos[0]; i++)
    {
        int minn=0x7ffffff,maxx=0;
        for(int j=pos[i-1]+1; j<pos[i]; j++)
        {
            minn=min(minn,min(sa[j],sa[j-1])); maxx=max(maxx,max(sa[j-1],sa[j]));
            if(maxx-minn>x) return true;//因为是差分所以要用大于x  
        } 
    }
    return false;
}
int solve()
{
    int l=0,r=n;
    while(l<r)
    {
        int mid=(l+r+1)>>1;
        if(can(mid)) l=mid;
        else r=mid-1;
    } l++;
    if(l<5) l=0;
    return l;
}
int main()
{
    freopen("test.in","r",stdin);
    freopen("test.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
        init();
        getsa(r,y,177,n); getheight();
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            cout<<height[i]<<endl;
        }
        printf("%d\n",solve());
    return 0;
}

学习笔记

SA的求解代码注释的比较易懂了实在不懂可以到网上找点图看看

height数组的求解方法

height数组的求解需要用到一个性质
令h[i]=height[rank[i]]
那么就有 $h[i]>=h[i-1]-1$
证明 i前面的一个后缀是i-1，i比i-1少一个字符
令 k=sa[rank[i-1]-1] 即排在i-1前的一个后缀。
那么k+1就比k要少一个字符
设k与i-1的LCP为[l,r] 很显然的是因为k+1只比k少一个 i只比i-1少一个那么 k+1与i至少有[l+1,r]的是完全相同的
那么 $LCP(k+1,i)>=LCP(k,i-1)-1即h[i-1]-1$
而我们又知道两个后缀的LCP等于对应rank之间height的最小值。
所以 $h[i]>=LCP(k+1,i)>=LCP(k,i-1)-1即h[i-1]-1$
代码上边有

常用技巧

二分一个值把比这个值小的height去掉剩下一段段区间。
将height排序然后一个一个的将区间拆成两半。
求长度为L的字串出现几次的话找到L，2*L,3*L,4*L这些点最少两次的话最少要覆盖两个点，可以枚举每对点，比如说是L,2*L求以L为开头的后缀和以2*L为开头的后缀的LCP长度len1 和以2*L为开头前缀和L为开头的前缀的最长公共后缀(LCS?) 长度len2 len1+len2就是以L为循环节的最长长度。
有时间补上图