五边形数定理与拆分数

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只做梳理，不做证明 ~~（因为不会证）~~

五边形数

图片摘自百度百科。

五边形数

可以发现， $g_i=g_{i-1}+3(i-1)+1$ ，所以通向就是 $gi=i(3i−1)2g_i=\frac{i(3i-1)}{2}$

而广义的五边形数， $i$ 的取值为 $0, 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3 . . .$ ，广义五边形数的前几项为： $0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26 . . .$

欧拉函数

著名的欧拉函数 $ϕ(x)\phi(x)$ ，表示比 $x$ 小的与 $x$ 互质的数字个数，写出它的生成函数，经过一些奥妙重重的推理，有：

$ϕ(x)=∏i=1n(1−xi)\phi(x)=\prod_{i=1}^n (1-x^i)$

然后经过一些奥妙重重的推理，有：

$ϕ(x)=∑−infinf(−1)ixi(3i−1)2\phi(x)=\sum_{-inf}^{inf} (-1)^i x^{\frac{i(3i-1)}{2}}$

即

$ϕ(x)=1−x−x2+x5+x7−x12−x15+...\phi(x)=1-x-x^2+x^5+x^7-x^{12}-x^{15}+...$

拆分数

拆分数 $P (x)$ ，就是把 $x$ 拆分成若干个正整数的方案数。例如对于 $3$ ，有拆分 $3 = 1 + 1 + 1$ ， $3 = 1 + 2$ ， $3 = 3$ 三种，所以 $P_3=3$

利用1取多少个，2取多少个，3取多少个，这样的思想，得到：

$P(x)=∏i=1inf(∑j=0infxij)=∏i=1inf11−xiP(x)=\prod_{i=1}^{inf}(\sum_{j=0}^{inf} x^{ij})=\prod_{i=1}^{inf}\frac{1}{1-x^i}$

即 $P(x)ϕ(x)=1P(x)\phi(x)=1$

暴力展开，除了0次项以外，每一项的系数都要为 $0$ ，所以对于任意一个 $n$ ，有：

$P_n-P_{n-1}-P_{n-2}+P_{n-5}+P_{n-7}-P_{n-12}-P_{n-15}+...=0$

由于五边形数的大小是平方级别的，所以我们可以在 $\sqrt{n})$ 的时间内算出 $1$ 到 $n$ 的五拆分数。

代码

HDU4651

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define RI register int
const int mod=1000000007,N=100000;
int qm(int x) {return x>=mod?x-mod:x;}
int js,n,T,f[N+5],g[N+5];
int main()
{
	for(RI i=1;;++i) {
		if(i*(3*i-1)/2<=N) g[++js]=i*(3*i-1)/2;
		else break;
		if(i*(3*i+1)/2<=N) g[++js]=i*(3*i+1)/2;
		else break;
	}
	f[0]=1;
	for(RI i=1;i<=N;++i) {
		for(RI j=1;j<=js&&g[j]<=i;++j)
			if(((j+1)/2)&1) f[i]=qm(f[i]+f[i-g[j]]);
			else f[i]=qm(f[i]-f[i-g[j]]+mod);
	}
	scanf("%d",&T);
	while(T--) scanf("%d",&n),printf("%d\n",f[n]);
	return 0;
}

有限制的拆分数

要求拆分后，每一种数字不能用大于等于 $k$ 次。

那么写出生成函数：

$∏i=1inf(1+xi+x2i+...+x(k−1)i)=∏i=1inf1−xki1−xi=ϕ(xk)ϕ(x)\prod_{i=1}^{inf} (1+x^i+x^{2i}+...+x^{(k-1)i})=\prod_{i=1}^{inf} \frac{1-x^{ki}}{1-x^i}=\frac{\phi(x^k)}{\phi(x)}$

所以这个生成函数 $F (x)$ 满足（ $P (x)$ 还是指拆分数的生成函数）： $F(x)=P(x)ϕ(xk)F(x)=P(x)\phi(x^k)$

同样，暴力展开卷积，则有： $f_x=P_x-P_{x-k}-P_{x-2k}+P_{x-5k}+P_{x-7k}-P_{x-12k}-P_{x-15k}+...$

还是可以 $\sqrt{n})$ 地做。

另外有一个奥妙重重的结论，就是拆分成的数都是奇数的方案数，等于拆分成完全不同的数（也就是每一种数使用不超过1次）的方案数。

代码

HDU4658

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define RI register int
const int mod=1000000007,N=100000;
int qm(int x) {return x>=mod?x-mod:x;}
int js,n,K,T,f[N+5],g[N+5];
int main()
{
	for(RI i=1;;++i) {
		if(i*(3*i-1)/2<=N) g[++js]=i*(3*i-1)/2;
		else break;
		if(i*(3*i+1)/2<=N) g[++js]=i*(3*i+1)/2;
		else break;
	}
	f[0]=1;
	for(RI i=1;i<=N;++i) {
		for(RI j=1;j<=js&&g[j]<=i;++j)
			if(((j+1)/2)&1) f[i]=qm(f[i]+f[i-g[j]]);
			else f[i]=qm(f[i]-f[i-g[j]]+mod);
	}
	scanf("%d",&T);
	while(T--) {
		scanf("%d%d",&n,&K);
		int ans=f[n];
		for(RI i=1;i<=js&&g[i]*K<=n;++i)
			if(((i+1)/2)&1) ans=qm(ans-f[n-g[i]*K]+mod);
			else ans=qm(ans+f[n-g[i]*K]);
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}