微分と極値の理解-优快云博客

或る関数y＝f(x)に於いて（図の例はf(x)＝x^2）、任意のx＝aの点とx＝a＋hの点を考える。(1)式で示される値をこの二点間の平均変化率という。

ここで、hを図のように次第に短くしていく事を考える。

hを限りなく0に近づけて行った時の平均変化率の極限値は、(2)式で示され、f'(a)をx＝aに於ける微分係数という。

図形的には、平均変化率を傾きとする直線は二点(a,f(a))と(a+h,f(a+h))を結ぶものだが、これが次第に傾きを変え、遂にはx＝aに於ける接線となる。その接線の傾きが微分係数となる。

aが何処に在っても、aに対する微分係数を求められる式を、この関数の導関数という。
aを一般化してxと置き、微分係数を求める式に代入してみる。y＝f(x)＝x^2の例で導出してみると以下のようになる。

x^2の導関数は2xとなり、xの値に応じてその位置での微分係数を求める事が出来る。
上記ではhは正の値で考えたが、hを負の値としてaに近付ける（aの左側から近付ける）事を考える事が出来る。
この両方の極限値が一致する場合に、この関数はx＝aで微分可能という。
x^2の例では、hを負数にして、hを限りなく0に近づける（負数から近づけるので－0に近付ける）事をしても、同じ微分係数が得られる。
しかし、(3.2)の様な関数では、x＝0に於いては、左右から近づけた時の極限値が違う値となるので、微分可能ではない。

f(x)＝|x|のグラフは以下のようで、x＝0では角になっている。接線も確定しない事が分かる。

y＝x^2の放物線を逆にした形では、x＝0の所で底を付く。複雑な関数では、このような谷底や山の頂点が何箇所も在る場合がある。
この谷底を極小値、山の頂点を極大値と呼び、両方合わせて極値という。
極値では、微分係数は0となる。これは、接線の傾きが水平になる事から明らかだろう。
導関数を求める意味の一つは、極値を求めるのが可能になる事だ。導関数の値が0となるxを求めれば、それが極値の場所だから、そのxをf(x)に代入すれば極値が得られる。

(4.1)式の3次関数の導関数を上記の様な方法で求めると（実際には導関数を求める公式に代入した）、(4.2)になる。
導関数＝0となるxを求める（二次方程式を解く）と(4.4)となる。
極値を取るxをf(x)に代入すると、(4.5)(4.6)の極大値と極小値が得られる。

極大値へは上がって行く。極大値から極小値へは下がっていく。極小値からはまた上がって行く。
下のような増減表に極値を書いていくと、元の関数のグラフが見えて来る。
なお、f(x)の所に上向きの矢印があるのは、その範囲でf(x)が単調増加（増加するだけ）、下向きの矢印があるのは、その範囲でf(x)が単調減少（減少するだけ）である事を示している。
逆にf'(x)の正負を判定出来るのは、その範囲でf(x)が単調増加、単調減少であることが条件になる。
なお、3次関数f(x)に於いてx^3の係数が正であり極値が二つある場合は、極値を与えるxの小さいほうが極大値、大きいほうが極小値となる。
或る定義域での最大値、最小値を求める問題の場合、極値と定義域の端の値を比較しなければならない。

増減表の中段が導関数の値（＋や－の値である事などを示す）、下段の元の関数の所へは極値と矢印で書く場合が多い。
導関数の値が＋の範囲では（その範囲で導関数の正負を確かめておく）、元の関数は増加するし、導関数の値が－のところでは元の関数は減少する。
これらの実際のグラフは、以下のようになっている（縦横の縮尺は調整してある）。

導関数の正負の変わるところに局値があるので、以下のような因数分解を行って、aとルートkの大小により場合分けを行う事もある（kは正数とする）。

なお、極値を求める際、組立除法等を使って元の関数を導関数で割っておくと、余りに代入するだけでよくなり、計算が簡単になる。

f(x)が連続な実数値関数であるとき、実数a、bについてf(a)＜f(b)が成り立つとき、f(a)＜r＜f(b)を満たす任意の実数rについて、r＝f(c)、a＜ｃ＜bを満たす実数cが必ず存在する（中間値の定理より）。
また、f'(a)＞0であるとき（f'(a)はf(a)の導関数）、hを十分に小さくとれば、f(a＋h)＞f(a)である。
この二つを組み合わせて、例えばc＝f(c)、0＜c＜1を満たす実数cが存在する事を示せ、といった問題が出題される事がある。

或るxの値の範囲で、導関数f'(x)の正負を調べるとき、導関数を(x＋a)(x－a)の形にすると有効な場合がある。
以下のxとLの値の範囲を条件に持つ(1)の最小値を求める事を考える。導関数はまず(1＋g(x))(1－g(x))を含む形になり、変形によって(x＋a)(x－a)を含む形にする事が出来る。

この場合、x≧1、L＞0の条件から、f'(x)の正負は、x－Lの所で決まる事が分かる（他の部分は必ず正）。
x≧Lであれば、f'(x)≧0は確定する。0＜L≦1であれば、x≧1から、この条件を満たす。
しかし、L＞1であれば、双方の値によってはL＞xがあり得るので、f'(x)＜0もあり得る。従って、Lの値をこの範囲で場合分けする。
0＜L≦1のとき、xが≧1のどんな値でもf'(x)≧0だから、f(x)は単調増加（減少が無い）であり、x≧1の条件から、xが1より大きくなっていくにつれて、f(x)も増えるかそのままなので、f(1)＝L^2/4がf(x)の最小値となる。
L＞1のときは、f(x)の増減表を書いて見る。f'(x)＝0となるのは条件からx＝Lの所しかない。1≦x＜Lの範囲では、f'(x)＜0となる。x＞Lならば、f'(x)＞0となるので、増減表は以下のようになる。