现在,大臣们帮国王拟了一个修高速公路的计划。看了计划后,国王发现,有些城市之间可以通过高速公路直接(不经过其他城市)或间接(经过一个或多个其他城市)到达,而有的却不能。如果城市A可以通过高速公路到达城市B,而且城市B也可以通过高速公路到达城市A,则这两个城市被称为便利城市对。
国王想知道,在大臣们给他的计划中,有多少个便利城市对。
接下来m行,每行两个整数a, b,表示城市a有一条单向的高速公路连向城市b。
1 2
2 3
3 4
4 2
3 5
城市间的连接如图所示。有3个便利城市对,它们分别是(2, 3), (2, 4), (3, 4),请注意(2, 3)和(3, 2)看成同一个便利城市对。
前60%的评测用例满足1 ≤ n ≤ 1000, 1 ≤ m ≤ 10000;
所有评测用例满足1 ≤ n ≤ 10000, 1 ≤ m ≤ 100000。
在有向图G中,如果两个顶点间至少存在一条路径,称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。
下图中,子图{1,2,3,4}为一个强连通分量,因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。
[Tarjan算法]
Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时,把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈,回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳),Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出,
Low(u)=Min
{
DFN(u),
Low(v),(u,v)为树枝边,u为v的父节点
DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)
}
当DFN(u)=Low(u)时,以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。
算法伪代码如下
tarjan(u)
{
DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值
Stack.push(u) // 将节点u压入栈中
for each (u, v) in E // 枚举每一条边
if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过
tarjan(v) // 继续向下找
Low[u] = min(Low[u], Low[v])
else if (v in S) // 如果节点v还在栈内
Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根
repeat
v = S.pop // 将v退栈,为该强连通分量中一个顶点
print v
until (u== v)
}
接下来是对算法流程的演示。
从节点1开始DFS,把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时,DFN[6]=LOW[6],找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止,{6}为一个强连通分量。
至此,算法结束。经过该算法,求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。
可以发现,运行Tarjan算法的过程中,每个顶点都被访问了一次,且只进出了一次堆栈,每条边也只被访问了一次,所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。
求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法,为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法,其时间复杂度也是O(N+M)。与Trajan算法相比,Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS,不用建立逆图,更简洁。在实际的测试中,Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外,该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法,也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法,两者可以类比、组合理解。
求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法,以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法,在此对Tarjan表示崇高的敬意。
附:tarjan算法的C++程序
void tarjan(int i)
{
int j;
DFN[i]=LOW[i]=++Dindex;
instack[i]=true;
Stap[++Stop]=i;
for (edge *e=V[i];e;e=e->next)
{
j=e->t;
if (!DFN[j])
{
tarjan(j);
if (LOW[j]<LOW[i])
LOW[i]=LOW[j];
}
else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i])
LOW[i]=DFN[j];
}
if (DFN[i]==LOW[i])
{
Bcnt++;
do
{
j=Stap[Stop--];
instack[j]=false;
Belong[j]=Bcnt;
}
while (j!=i);
}
}
void solve()
{
int i;
Stop=Bcnt=Dindex=0;
memset(DFN,0,sizeof(DFN));
for (i=1;i<=N;i++)
if (!DFN[i])
tarjan(i);
}
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <set>
#include <queue>
using namespace std;
const int ADJ_NUM = 50;
const int SIZE = 10001;
struct _graph{
int adj[ADJ_NUM]; // 来记录邻接点的下标
int num; // 指示邻接点的数目
};
_graph V[SIZE] = {0};
int LOW[SIZE] = {0};
int DFN[SIZE] = {0};
bool instack[SIZE] = {false}; // 用来记录一个顶点是否在栈里面
int Stap[SIZE] = {0};
int Belong[SIZE] = {0};
int Dindex, Stop, Bcnt;
int answer = 0;
void tarjan(int i)
{
int j;
int index = 0;
DFN[i] = LOW[i] = ++Dindex; // 标记
instack[i] = true; // 表示这个节点在栈里面
Stap[++Stop] = i; // 入栈
while (true) // 寻找邻节点
{
j = V[i].adj[index++];
if (j == 0) break;
if (!DFN[j]) // 如果该点还未有入栈
{
tarjan(j); // 从这个节点开始访问,也就是递归
if (LOW[j] < LOW[i]) // j节点访问完成之后,LOW[j]可能发生了变化,要更新LOW[i]
LOW[i] = LOW[j];
}
else if (instack[j] && DFN[j] < LOW[i]) // 该节点已经在栈里面了
LOW[i] = DFN[j];
}
if (DFN[i] == LOW[i]) // DFN[i] == LOW[i]这说明有一个强连通分量
{
int sum = 0;
Bcnt++; // 这里表示联通分量的数量加一
do
{
j = Stap[Stop--];
instack[j] = false; // 这里表示出栈
Belong[j] = Bcnt;
sum++;
}
while (j != i);
if (sum != 0)
answer += (sum * (sum - 1)) / 2;
}
}
void solve(int N)
{
int i;
Stop = Bcnt = Dindex = 0;
memset(DFN, 0, sizeof(DFN));
for (i = 1; i <= N; i++)
if (!DFN[i])
tarjan(i);
}
int main()
{
int n, m;
int a, b;
cin >> n >> m;
while (m--)
{
cin >> a >> b;
V[a].adj[V[a].num] = b; // 从 a到b有一条边
V[a].num++; // 计数器加1
}
solve(n);
cout << answer << endl;
return 0;
}
我要说明几点,首先是所谓的便利城市对数,对于节点数大于一的连通分量,它的对数是n*(n-1)/2,可能这道题就在这里转了一个弯。然后对于图的表示,我用的是邻接表,因为方便,记得将边的数目开大点,总之ccf内存还是不要钱的。