Generalizing RDP Codes Using the Combinatorial Method

#摘要
本文提出了PDHLatin，它是一种基于列汉密尔顿拉丁方(CHIS-column hamiltonian Latin squares)构造的校验块独立的2容错水平码。通过证明它是MDS码。 本文也提出了一种新的基于CHIS的校验块独立的2容错混合编码-PIMLatin。 这两种编码具有良好的扩展性以及结构多样性。 同时本文也讨论编码缩减技术，以及它所带来的参数扩展性，结构可变性和可靠性的提升。 基于垂直缩减的思想，本文利用非汉密尔顿拉丁方的方式提出了一种2容错阵列码的构建方式。

#简介
磁盘容量的增大，以及存储系统规模的增大导致多故障频发。 因此，多容错纠删码变得流行起来，但是当前的多容错纠删码具有一些内在的局限性。Plank在Fast05上tutorial对存储系统的纠删码给出了一个详细的介绍。纠删码是一种编码容错机制。 它将$n$个数据磁盘编码成$m$个校验磁盘，并且可以容错任意的$t$个磁盘的故障，但是并没有一种针对$n$, $m$,$t$>$1$情况下的一致公认的最优编码技术。

广为人知的多容错编码技术主要分为三种类别： Reed-Solomon码， 二进制线性码和阵列码。

1. RS码是仅有的一种适用于任意$n$, $m$(=$t$)MDS码。 这意味着最优的存储效率以及更新效率。 但是由于它使用Galois Field进行编解码运算(虽然一些优化的方法提出来)，计算复杂性是一个很严重的问题。
2. 二进制线性码是基于XOR的编码，具有较优的计算复杂性，但是存储效率比较低。 图1展示了一种2维线性码，其中数据单元$D_{ij}$同时参与了两个校验块$P_i$和$Q_i$的计算。 这个例子说明了线性码的核心观点： 将数据单元分配到多个校验组中，也就是说一个数据单元参与到多个组，保证了多容错特性。
3. 阵列码将数据或者校验单元组织到一个array中。 EVENODD是第一种MDS阵列码，其他随后的一些阵列码像X-COde, RDP, STAR-code等都与它有思想上相似的地方。

#图论知识
又找了一篇相关的论文：Combinatorial Constructions of Multi-Erasure-Correcting Codes with
Independent Parity Symbols for Storage Systems 依然卡在了P1F以及拉丁方上，因此着眼于这些知识的理论搭建。

##P1F相关
所谓一个图G的因子Gi，是指至少包含G的一条边的生成子图。
所谓一个图G的因子分解，是指把图G分解为若干个边不重的因子之并。
所谓一个图G的n因子，是指图G的n度正则因子。
生成子图： 与图G的顶点相同，边是子集。
正则图： 图的所有顶点的度都相同，例如孤立的一群点是0-度正则图
n度正则因子： 首先得满足因子$G_i$，然后满足正则的概念。

例如这个五边形内部的红色五角形就是图的一个2因子。

匹配： 图的一个匹配是图的一些边的集合，这些边没有公共的顶点。
最大匹配： 首先是图的一个匹配，然后边的数目最多
完美匹配： 是图的一个匹配，且能囊括所有的顶点。
例如，下图就是一个完美匹配

图的一因子分解：图可以分解为若干个边不重复的完美匹配的导出子图。
例如具有$2n$个顶点的完全图$K_{2n}$可进行一因子分解，$K_4$可分解为3个1因子。

完美1因子分解： 如果一个图可以进行一因子分解，且对于任意的两个因子$F_i$和$F_j$，有$F_{i}U{F}_j$产生了汉密尔顿回路，那么这种1因子分解就是完美1因子分解，简写为P1F。
汉密尔顿回路： $n$个顶点，$n$条边组成了一个环路，这样的环路只要删除其中任意一条边就不会再有回路，这种环路叫做汉密尔顿回路。 通过图G的每个结点一次，且仅一次的通路（回路）。
具有偶数个节点的完全图都有P1F。

##拉丁方相关
对于$k\le n$，一个$k\ast n$的拉丁矩阵是1个$k\ast n$的矩阵，而且矩阵的每一行和每一列都没有重复的元素。 通常我们使用$Z_n=0,1,\cdots ,n-1$作为元素集合，用$L(k,n)$叫做$k\ast n$的拉丁矩阵，$L(k,n)$中的第$r$行，第$c$列的元素是$R_{rc}$。 我们称$L(n,n)$叫做拉丁方阵，且可以使用具有$n^2$个条目的$3$元组$(row,column,symbol)$来表示它。

拉丁矩阵$R$的每一行都是上述$Z_n$的一个排列。如果拉丁方$L$的两行组成一个单一的环，那么$L$叫做行汉密尔顿拉丁方，本文关注列汉密尔顿拉丁方(CHIS)，也就是两列组成一个环，如下图的$C_5$。

###CHIS和P1F的相互转换
CHIS和P1F具有紧密的联系。n阶CHIS可以转换为一个P1F(V, W, E)，过程如下：使顶点V={vi∣0≤i≤n−1}V =\{ v_i | 0\leq i \leq n-1\}V={vi​∣0≤i≤n−1}，使顶点W={wi∣0≤i≤n−1}W =\{ w_i | 0\leq i \leq n-1\}W={wi​∣0≤i≤n−1}，对于所有的$(i,j,k)\in L$， 使边$(v_i, w_k) \in F_j $， 同样这个过程也可以反向进行。

如下图的例子，P1F和CHIS一一对应：


转换过程
首先由$K_{5,5}$生成一个完美1因子匹配(即每一个子图的顶点的度都是1)，每一对因子$F_i$, $F_j$都可以形成汉密尔顿环路。 下面的是一个5阶列汉密尔顿拉丁方。 这两个图可以相互转换($C_5和K_{5,5}$)。
将P1F中的$F_j$对应于$C_5$的第j列；将$C_5$第$j$列的元素的行号$i$作为$F_j$中V顶点的下标， 即$v_i$； 将$C_5$第$j$列的元素的值$k$作为$F_j$中W顶点的下标， 即$w_k$。 举例说明： j=1，对应于$K_{5,5}$的$F_1$和$C_5$的第1列，即$1,2,3,4,0$； 在$C_5$中，当$i=0$时，$k=1$(第$0$行，第$1$列的元素值为$1$)，因此在$F_1$中$v_0$与$w_1$相连， 同样当$i=1$时，$k=2$(第$1$行，第$1$列的元素值为$2$)，因此$F_1$中$v_1$与$w_2$相连。

对于$C_5$中的第1,3列形成环路，其实就是说对于$K_{5,5}$中的P1F， $F_1$和$F_3$形成了环路，这两个是等价的。

如果$K_{n+1}$具有P1F，$K_{n,n}$也具有，由于已知偶数节点的完全图具有完美1因子，因此当n为奇数(n=2也可以)时，$K_{n,n}$ 具有P1F。

#新的编码
#PDHLatin codes

#未完待续