编程之美2.5——寻找最大的K个数

最新推荐文章于 2020-07-27 18:53:37 发布

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本文介绍在不同数据规模下选择最大K个数的有效算法。对于小规模数据，采用顺序统计法；对于中等规模数据，使用二分中值法；而对于大规模数据，则推荐使用最小堆法。这些方法适用于数百至数万亿规模的数据。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

问题：

从一组数中选出其中最大的K个数，当这组数的个数为几百、几百万、几百亿时分别适合采用哪些算法？

个数为几百时，使用顺序统计法（看算法导论第9章）：

算法思想是对输入数组进行递归划分，一边的数据小于选定数，另一边的数据大于等于选定数。但和快速排序不同的是，快速排序会递归处理划分的两边，而顺序统计法只处理划分的一边。其随机化算法的期望时间为O(n)。除了无法处理大规模的数据外，它还有一个缺点，就是会改变输入数据的顺序，也就是说算法不是稳定的。

#include <iostream>
#include <cstdlib>
using namespace std;

#define MAXN 103
int A[MAXN];

void select(int u, int v, int k)
{
	int s = rand()%(v-u+1)+u;
	int a = A[s];
	A[s] = A[u];
	A[u] = a;
	int i, j=u;
	for (i=u; i<=v; i++)
		if (A[i] > a)
		{
			int tmp = A[++j];
			A[j] = A[i];
			A[i] = tmp;
		}
	A[u] = A[j];
	A[j] = a;
	if (j == k) return;
	else if (j < k)
		select(j+1, v, k);
	else
		select(u, j-1, k);
}

int main()
{
	int n, k, i, j;
	cin >> n >> k;
	for (i=0; i<n; i++)
		cin >> A[i];
	select(0, n-1, k-1);
	for (i=0; i<k; i++)
		cout << A[i] << " ";
	cout << endl;
}

个数为几百万时，数据量较大不适合全装入内存中，能容忍多次访问，可使用二分中值法（用法有点奇怪，个人不太喜欢）：

本质上是通过二分思想找出第K大的数的值。算法从[Min, Max]开始逐渐缩小第K大的数取值的范围，时间复杂度为O(N*log(Max-Min))。

#include <iostream>
#include <cstdlib>
using namespace std;


int binary(FILE *in, int v)
{
	rewind(in);
	int a, sum = 0;
	while (fscanf(in, "%d", &a)!=EOF)
	{
		if (a >= v) sum++;
	}
	return sum;
}

void finded(FILE *in, int v)
{
	rewind(in);
	int a;
	while (fscanf(in, "%d", &a)!=EOF)
	{
		if (a >= v) 
			cout << a << " ";
	}
	cout << endl;
}

int main()
{
	int n, k;
	cin >> n >> k;
	FILE* in = fopen("dat.txt","r");
	int min, max;
	int a;
	fscanf(in, "%d", &a);
	min = max = a;
	while (fscanf(in, "%d", &a)!=EOF)
	{
		if (a < min) min = a;
		if (a > max) max = a;
	}
	while (max > min)
	{
		int mid = (min+max)/2;
		int ns = binary(in, mid);
		if (ns == k)
		{
			finded(in, (min+max)/2);
			break;
		}
		else if (ns < k) max = mid;
		else min = mid;
	}
}

个数为几万亿时，数据量较大不适合全装入内存中，且无法容忍多次访问，所有数据只能访问一次，推荐使用最小堆法（上面那种情况也推荐使用这个方法），但要求K较小，否则无法在内存中存下整个最小堆。

用容量为K的最小堆来存储最大的K个数，最小堆的堆顶元素就是最大K个数中最小的一个。每次考虑一个新的元素时，将其与堆顶的元素进行比较，只有当它大于堆顶元素时，才用其替换堆顶元素，并更新最小堆。时间复杂度为O(N*logK)。

#include <iostream>

using namespace std;

#define MAXN 103

int H[MAXN];

void upshift(int s)
{
	int tmp = H[s];
	while (s>1 && H[s>>1] > tmp)
	{
		H[s] = H[s>>1];
		s >>= 1;
	}
	H[s] = tmp;
}

void downshift(int n)
{
	int tmp = H[1];
	int i=1, j=i<<1;
	while (j <= n)
	{
		if (j+1 <= n && H[j+1] < H[j]) j++;
		if (H[j] < tmp) H[i] = H[j];
		else break;
		i = j;
		j = j<<1;
	}
	H[i] = tmp;
}

int main()
{
	int n, k, i, A;
	cin >> n >> k;
	for (i=1; i<=k; i++)
	{
		cin >> H[i];
		upshift(i);
	}
	for (; i<=n; i++)
	{
		cin >> A;
		if (A > H[1])
		{
			H[1] = A;
			downshift(k);
		}
	}
	for (i=1; i<=k; i++)
		cout << H[i] << " ";
	cout << endl;
}