算法的分析思路

分析框架

1、以算法输入规模n作为参数进行分析算法效率

2、时间复杂度：找出基本操作O(1)，再计算它的运行次数（忽略乘法常量，仅关注增长次数）

3、增长次数：log2n<n<nlog2n<n2<n3<2n<n! （注意指数级操作的增长次数只能解决小规模问题）

4、最差、平均和最佳效率均是指输入规模为n时候的效率（平均效率可以引用已知的推到结果）

主要概括分析框架：

1、算法的时间效率和空间效率都用输入规模的函数进行度量。

2、用算法的基本操作的执行次数来度量时间效率，用算法消耗的额外单位的数量来度量空间单位

3、在输入规模相同的情况下，有写算法的效率会有显著的差异，对于这类算法需要分析最差、平均和最佳效率

4、框架主要关心：输入规模趋向于无限大的情况下它的效率问题

渐近符号和基本效率类型

1、O(g(n))是增长次数 < = c*g(n)的函数集合，上阶

2、Ω(g(n))是增长次数 >= c*g(n)的函数集合，下阶

3、θ(g(n))是增长次数 = c*g(n)的函数集合，同阶

可以利用极限进行比较增长次数（洛必达法则）
算法整体效率是由具有较大增长次数的部分所决定的。

非递归问题的数学分析的通用方案

1、决定哪个参数表示输入规模的度量标准

2、找出算法的基本操作

3、检查基本操作的执行次数是否只依赖于输入规模，如果它还依赖于一些其他的特性（例如：元素在数组中的位置等）则分析最差、平均和最佳效率

4、建立一个算法基本操作执行次数的求和表达式（有可能是递推表达式）

5、利用求和运算的标准运算或者法则来建立一个操作次数的闭合公式，或者至少确定它的增长次数

递归问题的数学分析的通用方案

1、决定哪个参数表示输入规模的度量标准

2、找出算法的基本操作

3、检查基本操作的执行次数是否只依赖于输入规模，如果它还依赖于一些其他的特性（例如：元素在数组中的位置等）则分析最差、平均和最佳效率

4、对于算法基本操作执行次数，建立一个递推关系以及相应的初始条件。

5、解这个递推式，或者至少确定它的增长次数。