动态规划算法

题目

剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2
输出：2

示例 2：

输入：n = 7
输出：21

示例 3：

输入：n = 0
输出：1

提示：

• 0 <= n <= 100

注意：本题与主站 70 题相同：https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/

分析

我们看到题目后，首先会想到用常规的思维一步一步求解问题，但很明显常规算法无法完成问题求解，问题只给出青蛙每次跳跃的级数，在n级台阶的情况下，我们无法穷尽中间台阶跳法的组合．那我们就可以考虑几个常用的算法去解决问题．如分治算法，动态规划算法，贪心算法，回溯法等．从问题条件和所要解决的问题来看，由于问题无法拆解为相互独立的子问题去解决，所以无法采用分治算法．另外，此问题并不是求解最优答案的问题，所以从经验来看也太适合采用贪心算法．还有回溯法来说也不太符合．所以，最后我们可以尝试采用动态规划算法来解决此问题．

动态规划算法一般的解决步骤如下：

1. 明确base状态：base状态是计算的终止或者起点。
2. 确定状态转移方程：转移方程的话，一定是涉及三个方面的，转移前的状态和转移后的状态，转移条件。如何来确立问题的状态。这就涉及到动态规划的另外一个概念。最有子结构，也叫最优子问题。大规模的难于处理的问题，我们一般的解决思路是拆分成易于解决的子问题，子问题也就形成了子状态。那我们对应于这个具体问题来说，要想求n级台阶的跳法，我们可以先求n-1级台阶的状态转移到n级台阶。回过头来，我们再看前提条件，一只青蛙一次可以跳一级台阶也可以跳两级台阶，那么由n-1到n增加的这一级台阶，青蛙可以从n-1级跳一级台阶到n，也可以从n-2级台阶跳两级台阶到n级。所以，我们可以写处动态转移方程dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]. 

整个问题的算法实现如下：

算法实现

class Solution {
public:
    int numWays(int n) {
        int *dp= new int[n+1];
        if (n == 0 || n == 1)
            return 1;

        dp[0]=dp[1]=1;
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            dp[i] = (dp[i-1] + dp[i-2])%1000000007;
        }

        return dp[n];
    }

};