RSA加密算法

##一、对称加密算法
在RSA算法出现之前，人们一直用的是对称加密算法，什么是对称加密算法：
加解密双方使用同一套密钥，即甲用密钥加密，乙还得用与甲同样的密钥来减密，这就存在极大的安全隐患。
常用的对称加减密算法有：DES, 3DES,AES,SM1（国密中的对称算法，密钥长度是128位）等。
##二、非对称加密算法
针对对称算法的不足，后来有三位大牛想出了一套非对称算法，也就是现在我们常说的RSA算法。这个算法里用到了很多数学知识，起到数学，感觉就不是一般人能研究的，不过人类生活中很多东西都与数学息息相关，没有数学就没有现在美好的生活，所以下面简单说明几个数学概念。
###1、互质关系
质数， 素数，这两个名词很多人在数学习课本里都听过，好像在中学的数学课本里就有了，它们表示同一个东西，只是两种不同叫法，那什么是质数？
任意一个数如果只能被1和它本身整除，这个数就是质数。

那什么是互质关系呢？如果两个正整数，除了1以外，没有其他公因子，那这两个数就是互质关系。
通过互质关系的概念，不难发现两个质数肯定是互质关系，但不一定互质关系的两个数一定都是是质数，比如15与32。以下是别人关于互质关系的总结：

　　a. 任意两个质数构成互质关系，比如13和61。

　　b. 一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系，比如3和10。

　　c. 如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，比如97和57。

　　d. 1和任意一个自然数是都是互质关系，比如1和99。

　　e. p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系，比如57和56。

　　f. p是大于1的奇数，则p和p-2构成互质关系，比如17和15。

###2、欧拉函数
何为欧拉函数？
在任意的正整数n，请问在小于等于n的正整数中，有多少个与n构成互质关系，计算这个值的方法，就叫做欧拉函数，以φ(n)表示。
比如正整数8，φ(8)=？，很快算出有1、3、5、7，所以φ(8)=4

根据前面对质数，互质关系，欧拉函数的介绍，大牛们把欧拉函数又推导出下面几个等式也成立：
1）如果n可以分解成两个互质的整数之积，即n=p×q，则有：φ(n)=φ(pq)=φ§φ(q);
2）一个数如果是质数，则小于它的所有正整数与它都是互质数；所以如果一个数p是质数，则有：φ§=p-1。
3）如果n可以分解成两个互质的整数之积n = p1 × p2，则φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)
4）如果n是质数的某一个次方，即 n = p^k (p为质数，k为大于等于1的整数)，则
φ(p^k)=pk-p^(k-1)=pk(1-1/p).
比如： φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4; φ(8) = φ(2³⁾⁼²3(1-1/2)=4
5）因为任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积：
n=p1^k1p2k2…pr^{kr，根据第三条定律，则φ(n)=φ(p1}k1)φ(p2^k2)…φ(prkr)
再根据第四条定律，则φ(n)=p1^k1p2k2…pr^kr(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/pr)，也就等于
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/pr)，这就是欧拉函数的通用计算公式，举例：1323的欧拉函数，计算过程如下：
φ(1323)=φ(3^3x72)=1323(1-1/3)(1-1/7)=756

###3、欧拉定理
欧拉函数的用处，在于欧拉定理。
如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数φ(n)可以让下面的等式成立：
a^φ(n)≡1mod(n)
比如，3和7互质，而7的欧拉函数φ(7)等于6，所以3的6次方（729）减去1，可以被7整除（728/7=104）。

###4、模反元素
如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1。
根据欧拉定理有：
a^φ(n)=axaφ(n-1)≡1mod(n)，令b=a^φ(n-1)，则ab≡1mod(n)，这里b就是a的模反元素。

比如࿰