LSTM模型与前向反向传播算法

在循环神经网络(RNN)模型与前向反向传播算法中，我们总结了对RNN模型做了总结。由于RNN也有梯度消失的问题，因此很难处理长序列的数据，大牛们对RNN做了改进，得到了RNN的特例LSTM（Long Short-Term Memory），它可以避免常规RNN的梯度消失，因此在工业界得到了广泛的应用。下面我们就对LSTM模型做一个总结。

1. 从RNN到LSTM

在RNN模型里，我们讲到了RNN具有如下的结构，每个序列索引位置t都有一个隐藏状态h^(t)。

如果我们略去每层都有的o^(t),L^(t),y^(t)，则RNN的模型可以简化成如下图的形式：

图中可以很清晰看出在隐藏状态h^(t)由x^(t)和h^(t−1)得到。得到h^(t)后一方面用于当前层的模型损失计算，另一方面用于计算下一层的h^(t+1)。

由于RNN梯度消失的问题，大牛们对于序列索引位置t的隐藏结构做了改进，可以说通过一些技巧让隐藏结构复杂了起来，来避免梯度消失的问题，这样的特殊RNN就是我们的LSTM。由于LSTM有很多的变种，这里我们以最常见的LSTM为例讲述。LSTM的结构如下图：

可以看到LSTM的结构要比RNN的复杂的多，真佩服牛人们怎么想出来这样的结构，然后这样居然就可以解决RNN梯度消失的问题？由于LSTM怎么可以解决梯度消失是一个比较难讲的问题，这需要很深的数学功底，不过不用担心，我们拿来用就可以了，毕竟大多数程序员不是研究数学的，所以这里就不多说，重点回到LSTM的模型本身。

2. LSTM模型结构剖析

上面我们给出了LSTM的模型结构，下面我们就一点点的剖析LSTM模型在每个序列索引位置t时刻的内部结构。

从上图中可以看出，在每个序列索引位置t时刻向前传播的除了和RNN一样的隐藏状态h^(t)，还多了另一个隐藏状态，如图中上面的长横线。这个隐藏状态我们一般称为细胞状态(Cell State)，记为C^(t)。如下图所示：

除了细胞状态，LSTM图中还有了很多奇怪的结构，这些结构一般称之为门控结构(Gate)。LSTM在在每个序列索引位置t的门一般包括遗忘门，输入门和输出门三种。下面我们就来研究上图中LSTM的遗忘门，输入门和输出门以及细胞状态。

2.1 LSTM之遗忘门

遗忘门（forget gate）顾名思义，是控制是否遗忘的，在LSTM中即以一定的概率控制是否遗忘上一层的隐藏细胞状态。遗忘门子结构如下图所示：

图中输入的有上一序列的隐藏状态h^(t−1)和本序列数据x^(t)，通过一个激活函数，一般是sigmoid，得到遗忘门的输出f^(t)。由于sigmoid的输出f^(t)在[0,1]之间，因此这里的输出f^(t)代表了遗忘上一层隐藏细胞状态的概率。用数学表达式即为：
$$\begin{array}{r}{f}^{(t)}=\sigma (W_f{h}^{(t-1)}+U_f{x}^{(t)}+b_f)\end{array}$$
其中$W_f$,$U_f$,$b_f$为线性关系的系数和偏倚，和RNN中的类似。$\sigma$为sigmoid激活函数。

2.2 LSTM之输入门

输入门（input gate）负责处理当前序列位置的输入，它的子结构如下图：

从图中可以看到输入门由两部分组成，第一部分使用了sigmoid激活函数，输出为i^(t),第二部分使用了tanh激活函数，输出为a^(t), 两者的结果后面会相乘再去更新细胞状态。用数学表达式即为：
$$\begin{array}{rl}{i}^{(t)}& =\sigma (W_i{h}^{(t-1)}+U_i{x}^{(t)}+b_i)\\ a^{(t)}& =tanh(W_a{h}^{(t-1)}+U_a{x}^{(t)}+b_a)\end{array}$$
其中$W_i$,$U_i$,$b_i$,$W_a$,$U_a$,$b_a$,为线性关系的系数和偏倚，和RNN中的类似。σ为sigmoid激活函数。

2.3 LSTM之细胞状态更新

在研究LSTM输出门之前，我们要先看看LSTM之细胞状态。前面的遗忘门和输入门的结果都会作用于细胞状态C^(t)。我们来看看从细胞状态C^(t−1)如何得到^C(t)。如下图所示：

细胞状态C^(t)由两部分组成，第一部分是C^(t−1)和遗忘门输出f^(t)的乘积，第二部分是输入门的i^(t)和a^(t)的乘积，即：
$$\begin{array}{r}{C}^{(t)}=C^{(t-1)}⨀f^{(t)}+i^{(t)}⨀a^{(t)}\end{array}$$
其中，$⨀$为Hadamard积，在DNN中也用到过。

2.4 LSTM之输出门

有了新的隐藏细胞状态C^(t)，我们就可以来看输出门了，子结构如下：

从图中可以看出，隐藏状态h(t)的更新由两部分组成，第一部分是o^(t), 它由上一序列的隐藏状态h^(t−1)和本序列数据x^(t)，以及激活函数sigmoid得到，第二部分由隐藏状态C^(t)和tanh激活函数组成, 即：
$$\begin{array}{rl}{o}^{(t)}& =\sigma (W_o{h}^{(t-1)}+U_o{x}^{(t)}+b_o)\\ h^{(t)}& =o^{(t)}⨀tanh(C^{(t)})\end{array}$$
通过本节的剖析，相信大家对于LSTM的模型结构已经有了解了。当然，有些LSTM的结构和上面的LSTM图稍有不同，但是原理是完全一样的。

3. LSTM前向传播算法

现在我们来总结下LSTM前向传播算法。LSTM模型有两个隐藏状态h^(t),C^(t)，模型参数几乎是RNN的4倍，因为现在多了$W_f$,$U_f$,$b_f$,$W_a$,$U_a$,$b_a$,$W_i$,$U_i$,$b_i$,$W_o$,$U_o$,$b_o$这些参数。

前向传播过程在每个序列索引位置的过程为：
1）更新遗忘门输出：
$$\begin{array}{r}{f}^{(t)}=\sigma (W_f{h}^{(t-1)}+U_f{x}^{(t)}+b_f)\end{array}$$
2）更新输入门两部分输出：
$$\begin{array}{rl}{i}^{(t)}& =\sigma (W_i{h}^{(t-1)}+U_i{x}^{(t)}+b_i)\\ a^{(t)}& =tanh(W_a{h}^{(t-1)}+U_a{x}^{(t)}+b_a)\end{array}$$
3）更新细胞状态：
$$\begin{array}{r}{C}^{(t)}=C^{(t-1)}⨀f^{(t)}+i^{(t)}⨀a^{(t)}\end{array}$$
4）更新输出门输出：
$$\begin{array}{rl}{o}^{(t)}& =\sigma (W_o{h}^{(t-1)}+U_o{x}^{(t)}+b_o)\\ h^{(t)}& =o^{(t)}⨀tanh(C^{(t)})\end{array}$$
5）更新当前序列索引预测输出：
$$\begin{array}{r}{\hat{y}}^{(t)}=\sigma (V{h}^{(t)}+c)\end{array}$$

4. LSTM反向传播算法推导关键点

有了LSTM前向传播算法，推导反向传播算法就很容易了， 思路和RNN的反向传播算法思路一致，也是通过梯度下降法迭代更新我们所有的参数，关键点在于计算所有参数基于损失函数的偏导数。

在RNN中，为了反向传播误差，我们通过隐藏状态h^(t)的梯度${\delta }^{(t)}$一步步向前传播。在LSTM这里也类似。只不过我们这里有两个隐藏状态h^(t)和C^(t)。这里我们定义两个$\delta$，即：
$$\begin{array}{rl}{\delta }_h^{(t)}& =\frac{\partial L}{\partial h^{(t)}}\\ {\delta }_C^{(t)}& =\frac{\partial L}{\partial C^{(t)}}\end{array}$$
为了便于推导，我们将损失函数L^(t)分成两块，一块是时刻t位置的损失l^(t)，另一块是时刻t之后损失L^(t+1)，即：
$$\begin{array}{r}{L}^{(t)}=\{\begin{array}{ll}{l}^{(t)}+L^{(t+1)}& \text{if t < Γ}\\ l^{(t)}& \text{if t = Γ}\end{array}\end{array}$$
而在最后的序列索引位置$\Gamma$的${\delta }_h^{(\Gamma )}$和${\delta }_C^{(\Gamma )}$为：
$$\begin{array}{rl}{\delta }_h^{(\Gamma )}& =(\frac{\partial o^{(\Gamma )}}{\partial h^{(\Gamma )}}{)}^T\frac{\partial L^{(\Gamma )}}{\partial o^{(\Gamma )}}=V^T({\hat{y}}^{(\Gamma )}-y^{(\Gamma )})\\ {\delta }_C^{(\Gamma )}& =(\frac{\partial h^{(\Gamma )}}{\partial C^{(\Gamma )}}{)}^T\frac{\partial L^{(\Gamma )}}{\partial h^{(\Gamma )}}={\delta }_h^{(\Gamma )}⨀o^{(\Gamma )}⨀(1-tan{h}^2(C^{(\Gamma )}))\end{array}$$
接着我们由${\delta }_C^{(t+1)}$,${\delta }_h^{(t+1)}$反向推导${\delta }_h^{(t)}$, ${\delta }_C^{(t)}$。
${\delta }_h^{(t)}$的梯度由本层t时刻的输出梯度误差和大于t时刻的误差两部分决定，即：
$$\begin{array}{r}{\delta }_h^{(t)}=\frac{\partial L}{\partial h^{(t)}}=\frac{\partial l^{(t)}}{\partial h^{(t)}}+(\frac{\partial h^{(t+1)}}{\partial h^{(t)}}{)}^T\frac{\partial L^{(t+1)}}{\partial h^{(t+1)}}=V^T({\hat{y}}^{(t)}-y^{(t)})+(\frac{\partial h^{(t+1)}}{\partial h^{(t)}}{)}^T{\delta }_h^{(t+1)}\end{array}$$
整个LSTM反向传播的难点就在于$\frac{\partial h^{(t+1)}}{\partial h^{(t)}}$这部分的计算。仔细观察，由于$h^{(t)}=o^{(t)}⨀tanh(C^{(t)})$, 在第一项o^(t)中，包含一个h的递推关系，第二项tanh(C^(t))就复杂了，tanh函数里面又可以表示成:
$$\begin{array}{r}{C}^{(t)}=C^{(t-1)}⨀f^{(t)}+i^{(t)}⨀a^{(t)}\end{array}$$
tanh 函数的第一项中，f^(t)包含一个h的递推关系，在tanh函数的第二项中，i^(t)和a^(t)都包含h的递推关系，因此，最终$\frac{\partial h^{(t+1)}}{\partial h^{(t)}}$这部分的计算结果由四部分组成。即：
Δ C = o ( t + 1 ) ⨀ [ 1 − t a n h 2 ( C ( t + 1 ) ) ] ∂ h ( t + 1 ) ∂ h ( t ) = d i a g [ o ( t + 1 ) ⨀ ( 1 − o ( t + 1 ) ) ⨀ t a n h ( C ( t + 1 ) ) ] W o + d i a g [ Δ C ⨀ f ( t + 1 ) ⨀ ( 1 − f ( t + 1 ) ) ⨀ C ( t ) ] W f + d i a g { Δ C ⨀ i ( t + 1 ) ⨀ [ 1 − a ( t ( t + 1 ) ) 2 ] } W a + d i a g [ Δ C ⨀ a ( t + 1 ) ⨀ i ( t + 1 ) ⨀ ( 1 − i ( t + 1 ) ) ] W i \begin{aligned} \Delta C&=o^{(t+1)}\bigodot [1-tanh^{2}(C^{(t+1)})]\\ \frac{\partial{h^{(t+1)}}}{\partial{h^{(t)}}}&=diag[o^{(t+1)}\bigodot (1-o^{(t+1)})\bigodot tanh(C^{(t+1)})]W_{o}+diag[\Delta C \bigodot f^{(t+1)}\bigodot(1-f^{(t+1)})\bigodot C^{(t)}]W_{f}+diag\{\Delta C \bigodot i^{(t+1)}\bigodot[1-a(t^{(t+1)})^{2}]\}W_{a}+diag[\Delta C\bigodot a^{(t+1)}\bigodot i^{(t+1)}\bigodot(1-i^{(t+1)})]W_{i} \end{aligned} ΔC∂h(t)∂h(t+1)​​=o(t+1)⨀[1−tanh2(C(t+1))]=diag[o(t+1)⨀(1−o(t+1))⨀tanh(C(t+1))]Wo​+diag[ΔC⨀f(t+1)⨀(1−f(t+1))⨀C(t)]Wf​+diag{ΔC⨀i(t+1)⨀[1−a(t(t+1))2]}Wa​+diag[ΔC⨀a(t+1)⨀i(t+1)⨀(1−i(t+1))]Wi​​
而${\delta }_C^{(t)}$的反向梯度误差由前一层${\delta }_C^{(t+1)}$的梯度误差和本层的从h^(t)传回来的梯度误差两部分组成，即：
$$\begin{array}{r}{\delta }_C^{(t)}=(\frac{\partial C^{(t+1)}}{\partial C^{(t)}}{)}^T\frac{\partial L}{\partial C^{(t+1)}}+(\frac{\partial h^{(t)}}{\partial C^{(t)}}{)}^T\frac{\partial L}{\partial h^{(t)}}=(\frac{\partial C^{(t+1)}}{\partial C^{(t)}}{)}^T{\delta }_C^{(t+1)}+{\delta }_h^{(t)}⨀o^{(t)}⨀(1-tan{h}^2(C^{(t)}))={\delta }_C^{(t+1)}⨀f^{(t+1)}+{\delta }_h^{(t)}⨀o^{(t)}⨀(1-tan{h}^2(C^{(t)}))\end{array}$$
有了${\delta }_h^{(t)}$和${\delta }_C^{(t)}$， 计算这一大堆参数的梯度就很容易了，这里只给出$W_f$的梯度计算过程，其他的$U_f$,$b_f$,$W_a$,$U_a$,$b_a$,$W_i$,$U_i$,$b_i$,$W_o$,$U_o$,$b_o$，V,c的梯度大家只要照搬就可以了。
$$\begin{array}{r}\frac{\partial L}{\partial W_f}=\sum _{t=1}^{\Gamma }[{\delta }_C^{(t)}⨀C^{(t-1)}⨀f^{(t)}⨀(1-f^{(t)})](h^{(t-1)}{)}^T\end{array}$$

5. LSTM小结

LSTM虽然结构复杂，但是只要理顺了里面的各个部分和之间的关系，进而理解前向反向传播算法是不难的。当然实际应用中LSTM的难点不在前向反向传播算法，这些有算法库帮你搞定，模型结构和一大堆参数的调参才是让人头痛的问题。不过，理解LSTM模型结构仍然是高效使用的前提。

参考资料：

1） Neural Networks and Deep Learning by Michael Nielsen

2） Deep Learning, book by Ian Goodfellow, Yoshua Bengio, and Aaron Courville

3） UFLDL Tutorial

4）Understanding-LSTMs