32、高效通信的完美安全VSS与MPC协议解析

高效通信的完美安全VSS与MPC协议解析

1. 核心引理与基础概念

在相关协议中，有几个重要的引理为后续的协议设计和分析奠定了基础。
- 引理3 ：在验证单秘密协议（Verification - SS）中，如果经销商D是诚实的，最终会生成核心集合（CORE）。证明过程基于引理2，诚实的D最终会在图$G_D$中生成一个$(C_β, D_β)$，其中$C_β$包含至少$2t + 1$个诚实的参与方。而且，诚实的D会使得每个诚实参与方$P_i$的图$G_i$（包括$G_D$）中，每对诚实参与方之间最终会有边相连。这样，所有诚实参与方都会与$C_β$中的诚实参与方有边相连，从而被添加到$F_β$中；同理，也会被添加到$E_β$中。最终满足$|E_β| \geq n - t$和$|F_β| \geq n - t$，D就能得到CORE。
- 引理4 ：如果一个诚实的参与方$P_i$接受了CORE，那么CORE中诚实参与方的行多项式定义了一个唯一的$(d, t)$次二元多项式。当诚实的$P_i$接受CORE时，他从D的A - 广播中收到$((C_β, D_β), (E_β, F_β))$，并根据自己的图$G_i$检查其有效性。由引理1可知，$C_β$中诚实参与方的行多项式定义了一个唯一的$(d, t)$次二元多项式$F(x, y)$。对于$F_β$中的诚实参与方$P_j$，由于其在$C_β$中有至少$2t + 1$个邻居，所以从$C_β$中至少$2t + 1$个参与方收到的$f_{kj}$值位于列多项式$p_j(y)$上，这意味着$p_j(y) = F(j, y)$。同理，对于$E_β$中的诚实参与方$P_j$，其在$F_β$中有至少$d