21、实用小范围批量范围证明

实用小范围批量范围证明

1. 引言

在密码学应用中，常常需要一方证明其知道某个处于特定区间范围内的秘密整数。该方从区间范围 $R$ 中选取一个整数，对其进行加密或承诺，并公布密文或承诺。随后，需要证明密文所加密的或承诺中所包含的整数确实在 $R$ 范围内，且证明过程不能泄露该整数除处于此范围之外的任何信息，这一证明操作被称为范围证明。

范围证明协议需满足以下安全属性，同时保证较高的效率也十分重要：
- 正确性 ：若整数在范围内，证明者知晓该整数且严格遵循证明协议，那么他能够通过协议中的验证。
- 可靠性 ：若证明者通过了协议中的验证，那么该整数极大概率处于范围内。
- 隐私性 ：证明过程中除了表明整数处于范围内，不会泄露该整数的其他任何信息。

最直接的范围证明技术是部分知识的零知识（ZK）证明，它逐个证明承诺的整数可能是范围内的每个整数，然后用逻辑或连接多个证明。但这种方法的计算量与范围大小呈线性关系，效率极低。

一些范围证明方案通过摒弃具有公共阶的循环群来提高效率，例如利用 $g^x$ 在 $g$ 的阶未知时对 $x$ 具有绑定性且能保持其在整数集 $Z$ 中的非负性这一特性，将范围证明转化为整数非负性的证明。然而，这些方案存在一些缺点，如可靠性依赖于计算假设，无法实现完美零知识或可模拟性，只能达到统计零知识。

最新且先进的范围证明方案虽然在实际小范围内具有较高效率，但也存在一些局限性，如可靠性有条件限制，隐私性依赖于特定数学问题的难度，且在实际小范围内的效率提升不够显著。

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