5、从谓词演算到情景演算

从谓词演算到情景演算

在逻辑推理领域，我们常常需要一种强大的工具来处理动态系统中的知识表示和推理。情景演算就是这样一种专门用于推理动态系统的知识表示形式主义。在深入探讨情景演算之前，我们先简要回顾一下标准的一阶和二阶逻辑。

1. 谓词演算

形式逻辑由语法和语义两部分组成。语法定义了可以构造的符号、项和公式，而语义则提供了解释这些符号的方法。
- 语法 ：假设一个逻辑签名，它包含各种元数的谓词符号集、各种元数的函数符号集、相等符号、逻辑变量和标准连接词（如 ∧、∨、¬、∀）。为了提高可读性，还允许使用括号对公式进行分组。例如，我们用 P ⊃Q 表示 ¬P ∨Q，用 P ≡Q 表示 (P ⊃Q) ∧(Q ⊃P)，用 ∃x P(x) 表示 ¬∀x¬P(x)。
- 项、原子和公式 ：项由变量和函数组成，原子是将项作为参数的谓词，公式则是通过连接词组合原子得到的。没有自由变量的公式称为句子。
- 一阶模型 ：为了解释原子和公式并赋予它们真值，我们定义了一阶模型，也称为塔斯基结构。一个模型 M 定义在一个非空的对象集合 |M| 上，这个集合作为论域。对于每个 k 元谓词 P，P M 是 |M|k 的一个子集；对于每个 k 元函数 f，f M 是从 |M|k 到 |M| 的一个映射。当函数为零元时，f M 是 |M| 中的一个元素，即常量符号是论域中的一个元素。
- 真值定义 ：给定一个公式 φ，我们相对于一个结构 M 归纳地定义真值。例如，对于原子 P(c1, …, ck)，其中参数是常量，M |= P(c1, …, ck