71、异构逻辑证明理论与维特根斯坦式图标逻辑

异构逻辑证明理论与维特根斯坦式图标逻辑

异构逻辑证明理论

归约示例与归一化

在证明过程中，归约项的选择并非唯一。以 obs - app 归约为例，通过对特定证明中的 obs - app 对进行归约，可得到右侧的标准证明。而在归一化过程中，存在一个难题：在进行 obs/del - app 归约后，会产生新的 app 和 uni 应用，可能引发新的归约项。为解决这一难题，我们选择证明中最左上的归约项，并连续应用两次归约操作。

归一化定理表明，任何从 α1, …, αn 推出 α 的证明都可归约为一个标准证明。具体操作如下：
1. 区分证明中的语言 FOL 部分和图表部分，先对语言部分进行归约，因为其归一化定理已确立。
2. 对于证明 π 中的每个 app 或 uni 应用，定义其度 deg(app) 或 deg(uni) 为与该 app 或 uni 应用构成归约项的 obs 和 del 应用的数量。
3. 选择 π 中最左上的归约项，即度最小的最左 app 或 uni 应用，根据规则（app 或 uni）分情况处理。

当规则为 app 时，最左上的归约项具有特定形式，经过 del - app 归约和 obs/del - app 归约后，虽然会产生新的 uni 和 app 应用，但由于删除的 obs 和 del 是最顶层的，这些新的 uni 和 app 的度为 0。当最左上的归约项由 uni 应用构成时，情况类似。通过不断应用最左上归约，可得到度为 0 的证明，即标准证明。

标准异构证明的特征

在无约束的异构系统中，每个标准证明具有特定形式：