70、迈向结合语句与图表的异构逻辑证明理论

迈向结合语句与图表的异构逻辑证明理论

1. 引言

异构推理结合了各种图形/图表和语句/语言表示，是图表推理研究中的一个重要课题。目前已经研究了多个异构系统，如积木世界系统、欧拉和维恩系统以及对应表系统等。然而，异构逻辑的证明理论尚未得到充分发展。

现有的证明理论主要基于语句/语言表示的逻辑证明进行研究。证明理论的一个主要目标是分析和刻画证明的结构，从而研究在系统中构建和搜索证明的有效策略，为定理证明提供基础。在传统证明理论中，正规证明和规范化起着核心作用。借助规范化定理，任何证明都可以简化为正规形式，便于对正规证明进行分析和刻画，因此根岑将规范化定理称为证明理论的主定理。

如果将图表转换为一阶逻辑（FOL）公式，就可以直接将常用的证明理论技术应用于异构/图表逻辑。基于这一思路，有研究者研究了一类与FOL中的正规证明一一对应的“N - 正规图表证明”。但这类证明没有反映出图表证明的特点，难以从一般意义上刻画图表证明的结构。

语言推理和图表推理在方法和策略上存在显著差异。语言推理通过分解给定前提并组合分解后的公式来构建结论；而图表推理则是通过统一前提中的信息构建（最大）图表，并从统一后的图表中提取结论。鉴于这种区别，我们将符号逻辑中发展起来的传统证明理论应用并扩展到异构逻辑，基于规范化定理对异构证明的结构进行刻画。我们在自然演绎框架内研究结合一阶公式和图表的异构逻辑，探索独立于特定系统的异构证明的抽象性质，这些性质在欧拉和维恩系统、积木世界系统以及对应表系统等具体系统中都有体现。

2. 异构逻辑的语法

我们抽象地介绍异构逻辑的语法。虽然每个系统都有具体的语法定义，但这里提取了每个系统中需要指定的共同项。异构逻辑的语法通过