27、3D打印部件控制因素与特性优化

3D打印部件控制因素与特性优化

1. 优化基础理论

在研究3D打印部件的控制因素和特性时，存在这样一种关系：$y = f(U_1, U_2, \ldots, U_k) + \varepsilon$ 。其中，$\varepsilon$ 代表在函数 $f$ 中未被考虑的其他变异来源，比如响应确定中的误差。变量 $U_1, U_2, \ldots, U_k$ 是自然变量或因素，但它们以不同的单位表示，且在不同的范围内变化。

一般来说，实际函数 $f$ 是未知的和/或非常复杂的，但可以用另一个更简单的多项式函数（一阶或二阶）来近似。近似模型基于实验数据，因此它是一个经验模型，其目的是在实验领域中充分表示响应。

1.1 响应面模型

• 一阶响应面模型 ：$y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + \cdots + \beta_kX_k + \varepsilon$ ，此模型可以描述 $y$ 和 $X_i$ 之间的关系。
• 二阶响应面模型 ：$y = \beta_0 + \sum_{i = 1}^{k} \beta_iX_i + \sum_{i = 1}^{k} \beta_{ii}X_i^2 + \sum_{i < j} \sum \beta_{ij}X_iX_j + \varepsilon_i$ ，当真实响应曲面的曲率足够大，使得一阶模型不适用时，需要使用二阶模型。其中，$\beta_i$ 表示当所有其他自变量保持不变时，响应 $y$ 随 $X_j$ 每单位变化的预期变化。

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