22、空气动力学中的可压缩性：原理、特性与应用

空气动力学中的可压缩性：原理、特性与应用

1. 可压缩性的引入

在航空领域，提高飞行速度是实际需求，因为乘客和货物希望更快到达目的地，运营商也希望最大化飞机的利用率。然而，现有的一些模型在速度增加时存在局限性，主要是假设流体密度均匀。从微分伯努利方程可知，速度增加会导致压力降低，除了理想的“完美流体”，压力降低通常会使物体膨胀，即密度减小。因此，需要引入额外的物理知识来扩展理论，以提高其速度限制。

2. 稳态质量守恒

2.1 质量守恒方程

在稳态情况下，给定固定区域 $R$ 内流体的净质量是恒定的，所以通过其边界表面 $S$ 的净质量通量必须为零，即：
$\iint_{S} \hat{n} \cdot (\rho \mathbf{q}) dS = 0$
根据散度定理，可转化为：
$\iiint_{R} \nabla \cdot (\rho \mathbf{q}) dV = 0$
由于区域 $R$ 是任意的，只有当 $\rho \mathbf{q}$ 的散度为零时，上述等式才成立：
$\nabla \cdot (\rho \mathbf{q}) = 0$

2.2 方程展开与推导

使用散度的乘积法则展开稳态质量守恒方程：
$\rho \nabla \cdot \mathbf{q} + \mathbf{q} \cdot \nabla \rho = 0$
结合稳态欧拉方程，并假设压力是密度的函数（即流体是正压的），利用向量微积分的链式法则展开压力梯度：
$\rho \mathbf{q} \cdot \nabla \mathbf{q} =