19、粘性流体动力学：原理、方程与应用

粘性流体动力学：原理、方程与应用

在空气动力学领域，粘性流动是一个至关重要的研究方向。理想流动模型在解释和预测二维翼型及三维机翼升力方面表现出色，但也存在一定局限性，如无法预测二维阻力，且在大攻角下因失速现象而受限。而粘性的存在，即使是少量的粘性，也会对固体壁面附近的流动产生重大影响，由此引出了边界层理论。

1. 连续介质力学的柯西第一定律

在研究完美流体流动的欧拉方程推导中，我们基于质点动量变化率等于作用在其上的合力这一原理。这些力可以是外部的（如重力），也可以是内部的。我们假设流体的内力仅通过接触传递，即表现为应力。

应力是一个二阶张量，与速度（一阶张量）不同，它有大小和两个方向。在二维笛卡尔坐标系中，应力分量用双下标表示，例如 $\sigma_{xy}$ 表示作用在垂直于 $x$ 轴的表面上、沿 $y$ 方向的单位面积力。

对于完美流体，二维应力的笛卡尔分量为：
$\sigma_{xx} = -p$
$\sigma_{xy} = 0$
$\sigma_{yx} = 0$
$\sigma_{yy} = -p$
用矩阵形式表示为：
$\begin{pmatrix}
\sigma_{xx} & \sigma_{xy} \
\sigma_{yx} & \sigma_{yy}
\end{pmatrix} = -p\begin{pmatrix}
1 & 0 \
0 & 1
\end{pmatrix}$

对于更一般的流体，考虑各向异性应力状态时，二维微元体上 $x$ 方向的合力分量为 $\left(\fra