14、涡度与涡旋及升力线理论详解

涡度与涡旋及升力线理论详解

1. 涡线、涡管和涡丝

涡线是一条在其长度上与涡度场相切的曲线，就如同流线与速度场的关系一样，涡线与涡度场相关。

1.1 涡管和涡丝的强度

涡丝的强度定义为涡度大小与横截面积的乘积，而涡管的强度则是组成它的涡丝强度的积分。通过对速度场和涡管的横截面应用斯托克斯定理：
(\iint_{S}(\nabla\times q)\cdot dS = \oint_{C}q\cdot ds)
或
(\iint_{S}\omega\cdot dS = \Gamma_{C})
这表明涡管的强度等于围绕它的回路的环量。

1.2 涡管的运动学性质

涡度场是无散度的，基于此，所有仅依赖于速度场无散度性质的结果都可以类推到涡度场。涡管或涡丝的强度沿其长度是恒定的，并且涡管和涡丝都不能在流体内部终止。

2. 亥姆霍兹定理

亥姆霍兹利用开尔文定理（流体回路的环量在流动过程中保持恒定）推导出了关于理想流体中涡管动力学的两个重要定理。

2.1 “涡管随流运动”

取一个涡管，考虑其管壁上由简单闭合曲线(C)界定的一部分(S)。由于没有涡线穿过(S)，根据斯托克斯定理，围绕(C)的环量为零。当(S)和(C)随流漂移时，根据开尔文定理，围绕(C)的环量保持为零，所以在流动过程中没有涡丝穿过它，它仍然是涡管管壁的一部分，即涡管随流运动。

2.2 “涡管的强度恒定”

考虑围绕涡管的简单闭合曲线，其环量等于涡管的强度。当涡管和回路随流运动时，回路仍在涡管上，且其环量保持恒定，因此涡