15、多柱汉诺塔问题及汉诺塔图的性质探究

多柱汉诺塔问题及汉诺塔图的性质探究

1. 多柱汉诺塔的距离定理

在多柱汉诺塔问题中，经过一系列的技术计算得出如下定理：对于任意 $p \geq 3$，有 $d(0^n,(p - 1)^n) \geq 2^{(1 + o(1))C_pn^{1/(p - 2)}}$，其中 $C_p = \frac{1}{2} (\frac{12}{p(p - 1)})^{1/(p - 2)}$。这里的小 $o$ 符号 $o(1)$ 表示当 $n$ 趋于无穷大时，该项趋于 0。

Xiao Chen 和 J. Shen 采用了 Szegedy 的策略，证明了 $d(0^n,(p - 1)^n) \geq 2^{(1 + o(1))(n(p - 2)!)^{1/(p - 2)}}$，这实际上是将定理中的常数 $C_p$ 改进为了 $(p - 2)!^{1/(p - 2)}$。

回到 Frame - Stewart 方法，虽然该方法中的 Frame 单调性条件并不构成限制，但我们面临着与 Reve 谜题（$p = 4$ 情况）相同的局限，即子塔解决方案和这些子塔/超级圆盘的顺序转移这两个假设。

2. 汉诺塔图 $H_n^p$ 的定义

多柱汉诺塔问题可以像经典汉诺塔问题一样用状态图来建模。对于 $p \in N$ 且 $p \geq 3$，汉诺塔图 $H_n^p$ 以所有常规状态为顶点，若两个顶点可以通过移动一个圆盘的合法移动相互得到，则它们相邻。

汉诺塔图 $H_n^p$ 的顶点集为 $V (H_n^p) = [p]_0^n$，元素表示为 $s = s_n \cdots s_1$，其中 $s_d \in [p]_0$ 表示圆盘 $d \in [