【数据结构与算法】堆 - 二叉堆

原创于 2025-12-02 03:40:24 发布 · 104 阅读

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#数据结构 #java #算法 #排序算法 #leetcode

下列代码均以大根堆为例，swap方法请自行实现

堆结构

基本操作

[[完全二叉树]]和数组前缀范围来对应，大小由单独变量size控制

heapInsert（向上调整）

public static void heapInsert(int[] arr, int i) {
	while (arr[i] > arr[(i - 1) / 2]) {
		swap(arr, i, (i - 1) / 2);
		i = (i - 1) / 2;
	}
}

𝑂(log⁡𝑛)

heapify（向下调整）

public static void heapify(int[] arr, int i, int size) {
	int l = i * 2 + 1;
	while (l < size) {
		int best = l + 1 < size && arr[l + 1] > arr[l] ? l + 1 : l;
		best = arr[best] > arr[i] ? best : i;
		if (best == i) break;
		swap(arr, best, i);
		i = best;
		l = i * 2 + 1;
	}
}

𝑂(log⁡𝑛)

建堆

方法一：从顶到底建堆

每次都是一个向上调整（插入）

public static void buildHeap1(int[] arr) {  
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {  
        heapInsert(arr, i);  
    }
}

提醒：对于第 𝑘 层的结点，向上调整的复杂度为 𝑂(𝑘)

每次向上调整的复杂度是 𝑂(log⁡𝑛)，每次插入堆规模加一
所以总复杂度：log⁡1 +log⁡2 + ⋯ +log⁡𝑛 = Θ(𝑛log⁡𝑛)，用斯特林公式证明或增倍分析法

方法二：从底到顶建堆

每次都是一个向下调整，可以理解为已经有一个堆

public static void buildHeap2(int[] arr) {  
    for (int i = arr.length - 1; i >= 0; i--) {  
        heapify(arr, i, arr.length);  
    }  
}

最下层只需要向下调整一次，倒二层需要向下调整两次，⋯
提醒：这里的最下层不只是深度最深的结点，是所有叶子结点，倒二层同理
总复杂度：n/2 * 1 + n/4 * 2 + n/8 * 3 + ⋯ = 𝑂(𝑛)，用高中数学知识可证

堆排序

建好堆后，依次弹出堆顶元素即可

public static void heapSort(int[] arr) {  
    int size = arr.length; // 堆大小  
    while (size > 1) {  
        swap(arr, 0, --size);  
        heapify(arr, 0, size);  
    }  
}