3D【7】人脸重建:Hands on Shape from Shading阅读笔记

Shape from Shading（sfs）是一个很基础也很经典的3D重建方法。其基本原理是利用灰度图片的亮度信息，加上亮度生成原理，求得每个像素在3D空间中的法向量，最终根据法向量求得深度信息。
看了不少相关的文章，感觉这篇论文讲的最好懂，里面还有相应的matlab代码。所以想学sfs的同学，可以去看这篇论文。

问题描述

一张灰度图的亮度信息由4个因素决定：
1、光照：主要是方向，位置和光的能量分布
2、物体的表面反射率：在sfs中就是albedo，决定了入射光在物体表面上如何被反射出去，一般由物体表面的材质决定。
3、物体表面的几何性状：这个是在给定灰度图片时，我们要求的。
4、相机：主要是其内部参数和外部参数

在给定一个3D模型，通过光照以及物体的反射率，我们可以模拟相机渲染出一张2D图片。而sfs刚好是这个过程的逆向：一定一张图片，光照以及模型的表面反射率，我们需要求出物体的3D结构。

术语

法向量

如图所示曲面的法向量是垂直于曲面的一个向量。法向量与光照共同决定了图片亮度的生成。
曲面上的某一点（x,y,z）的单位法向量$n=(n_x,n_y,n_z)$，有两种表示方法。一种是用偏角$\tau_n$和倾角$\sigma_n$表示。

$$n = (n_x,n_y,n_z)=[\sin\sigma_n\cos\sigma_n,\sin\sigma_n\sin\tau_n,\cos \sigma_n]^T$$
其中， τn=tan−1(