【组合数学】BZOJ3505 [Cqoi2014]数三角形

最新推荐文章于 2019-10-23 19:38:30 发布

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#组合数学 #BZOJ

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本文针对一个具体的计算几何问题，提出了一种高效的算法解决方案。通过分析三角形斜边上的整点数，利用最大公约数（gcd）计算特定条件下三点共线的情况，并通过遍历网格图来确定所有可能的组合。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题面在这里

首先会发现直接算很难算

那么就考虑计算三点共线的方案吧

由于两直角边分别为 $a,b$ 的三角形，斜边上整点数为 $gcd(a,b)+1$

然后中间点要共线就只有 $gcd(a,b)-1$ 种可能

然后把斜边遍历整个网格图 $(n-a+1)\cdot(n-b+1)$

最后注意一下这个斜边是可以对称翻转的

示例程序：

#include<cstdio>
typedef long long ll;

int n,m,nm;
ll ans;
ll gcd(int x,int y){
    return y==0?x:gcd(y,x%y);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);nm=(n+1)*(m+1);
    ans=(ll)nm*(nm-1)*(nm-2)/6;
    for (int i=0;i<=n;i++)
     for (int j=0;j<=m;j++)
      if (i||j){
        ll s=(gcd(i,j)-1)*(n-i+1)*(m-j+1);
        ans-=s*((i&&j)?2:1);
      }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}